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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Sa 26.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Es soll die Stammfunktion von
[mm] y=a^{x}e^{x}+23\wurzel{x^{3}\wurzel{x\wurzel{x}}}, [/mm] a > 0
und
y= [mm] (\bruch{1-x}{x})^{2} [/mm] + [mm] 8\wurzel[5]{x^{3}}
[/mm]
gebildet werden. |
Hallo,
° zu 1.
den ersten Summanden der ersten Fkt. habe ich partiell integriert
[mm] \integral_{}^{}{a^{x}e^{x} dx}= a^{x}e^{x}-\integral_{}^{}{a^{x}ln a e^{x}
dx} [/mm] = [mm] a^{x}e^{x}-ln [/mm] a [mm] \integral_{}^{}{a^{x} e^{x} dx}
[/mm]
[mm] ->\integral_{}^{}{a^{x}e^{x} dx}= \bruch{a^{x}e^{x}}{1+ |lna|}
[/mm]
den zweiten Summanden habe ich zuerst vereinfacht auf
[mm] 23\wurzel{x^{3}\wurzel{x\wurzel{x}}}
[/mm]
= [mm] 23x^{15/8} [/mm] -> F(x)= [mm] 8x^{3/8}
[/mm]
-> [mm] \bruch{a^{x}e^{x}}{1+ |lna|} [/mm] + [mm] 8x^{3/8} [/mm]
Könnte evtl. noch einmal jemand schauen, ob das stimmt?
° zu 2.
ich dachte, ich vereinfache ersteinmal:
y= [mm] (\bruch{1-x}{x})^{2} [/mm] + [mm] 8\wurzel[5]{x^{3}}
[/mm]
y= [mm] (\bruch{1}{x}-1)^{2} [/mm] + [mm] 8{x^{3/5}}
[/mm]
bei der Integration des 2.Summanden erhalte ich [mm] 5x^{8/5}
[/mm]
bei dem 1. Summanden habe ich irgendwie Schwierigkeiten
ich dachte ich gehe nach der Integrationsregel
[mm] f(x)=(ax+c)^{n}
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{1}{a(n+1)}(ax+c)^{n+1} [/mm] vor
also -> [mm] \bruch{1}{3}(\bruch{1}{x}-1)^{3}
[/mm]
ich scheine den Summanden jedoch nicht richtig integriert zu haben,
denn im Ergebnis steht [mm] F(x)=-\bruch{1}{x}-2ln|x|+x+5x^{8/5}
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen? Was habe ich bei der Integration des 1.Summanden falsch gemacht?
Vielen Dank!
Gruß
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Hallo carl1990,
> Es soll die Stammfunktion von
>
> [mm]y=a^{x}e^{x}+23\wurzel{x^{3}\wurzel{x\wurzel{x}}},[/mm] a > 0
>
> und
>
> y= [mm](\bruch{1-x}{x})^{2}[/mm] + [mm]8\wurzel[5]{x^{3}}[/mm]
>
> gebildet werden.
> Hallo,
>
> ° zu 1.
>
> den ersten Summanden der ersten Fkt. habe ich partiell
> integriert
>
> [mm]\integral_{}^{}{a^{x}e^{x} dx}= a^{x}e^{x}-\integral_{}^{}{a^{x}ln a e^{x}
dx}[/mm]
> = [mm]a^{x}e^{x}-ln[/mm] a [mm]\integral_{}^{}{a^{x} e^{x} dx}[/mm]
>
>
> [mm]->\integral_{}^{}{a^{x}e^{x} dx}= \bruch{a^{x}e^{x}}{1+ |lna|}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> den zweiten Summanden habe ich zuerst vereinfacht auf
>
> [mm]23\wurzel{x^{3}\wurzel{x\wurzel{x}}}[/mm]
>
> = [mm]23x^{15/8}[/mm] -> F(x)= [mm]8x^{3/8}[/mm]
Da hast Du wohl etwas verwechselt.
Wenn Du eine Potenzfunktion integrierst, erhöht sich bekanntlich der Exponent um 1.
>
>
> -> [mm]\bruch{a^{x}e^{x}}{1+ |lna|}[/mm] + [mm]8x^{3/8}[/mm]
>
> Könnte evtl. noch einmal jemand schauen, ob das stimmt?
>
>
> ° zu 2.
>
> ich dachte, ich vereinfache ersteinmal:
>
> y= [mm](\bruch{1-x}{x})^{2}[/mm] + [mm]8\wurzel[5]{x^{3}}[/mm]
>
> y= [mm](\bruch{1}{x}-1)^{2}[/mm] + [mm]8{x^{3/5}}[/mm]
>
> bei der Integration des 2.Summanden erhalte ich [mm]5x^{8/5}[/mm]
>
> bei dem 1. Summanden habe ich irgendwie Schwierigkeiten
>
> ich dachte ich gehe nach der Integrationsregel
> [mm]f(x)=(ax+c)^{n}[/mm]
> F(x)= [mm]\bruch{1}{a(n+1)}(ax+c)^{n+1}[/mm] vor
>
> also -> [mm]\bruch{1}{3}(\bruch{1}{x}-1)^{3}[/mm]
Wenn hier [mm]\left(x-1\right)^{2}[/mm] stünde, dann wäre hierzu die Stammfunktion [mm]\bruch{1}{3}\left(x-1\right)^{3}[/mm].
Bei anderen als linearen Funktionen klappt das nicht.
>
> ich scheine den Summanden jedoch nicht richtig integriert
> zu haben,
>
> denn im Ergebnis steht
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{x}-2ln|x|+x+5x^{8/5}[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand helfen? Was habe ich bei der
> Integration des 1.Summanden falsch gemacht?
Multipliziere statt dessen den Ausdruck [mm]\left(\bruch{1}{x}-1\right)^{2}[/mm] zunächst aus, und integriere dann.
>
> Vielen Dank!
> Gruß
>
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Carl!
Den ersten Teil der 1. Aufgabe kannst Du auch wie folgt lösen, indem Du zunächst umformst:
[mm] $$a^x*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(a)*x}*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(a)*x+x} [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\left[\ln(a)+1\right]}$$
[/mm]
Nun intergrieren ...
Gruß
Loddar
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