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Stammfunktion: vermutlich trigonom.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Sa 10.06.2006
Autor: FlorianJ

Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale:
[mm] \integral_{}{}{x*\wurzel{x^{2}+4x+29}dx} [/mm]

Schönen Tag zusammen!
4:2 juhu - weiter gehts mit Mathe :-)
Bei dem oben beschriebenen Weg wird es sehr wahrscheinlich auf eine trigonometrische substitution hinauslaufen.
zu erst habe ich den ausdruck vereinfacht:

[mm] \integral_{}{}{x*\wurzel{(x+2)^{2} +25}dx} [/mm]

nun würde ich gern zwei schritte machen, zu erst einmal
u=x+2 oder wäre es hier angebracht das x mit einzumultiplizieren und dann den gesamten ausdruck zu substituieren?
erstmal weiter: x=u-2   dx=du

[mm] \integral_{}{}{(u-2)\wurzel{u^{2}+25}dx} [/mm]

nun u = 5sinh(t)
du=5cosh(t)dt

das problem ist aber die u-2 vor der wurzel, denn der ausdruck wird sehr komplex. das geht sicher einfacher bzw "richtiger" in dem fall.

ich freue mich über jede hilfe!
danke Florian


Die Frage wurde nur hier gestellt!


        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Sa 10.06.2006
Autor: matheversum


> [mm]\integral_{}{}{(u-2)\wurzel{u^{2}+25}dx}[/mm]

mache ich mir das hier zu einfach, aber
[mm]\integral_{}{}{(u-2)\wurzel{u^{2}+25}du}=\integral_{}{}{u\wurzel{u^{2}+25}du}-2\integral_{}{}{\wurzel{u^{2}+25}du}[/mm]

Die einzelnen Integralen sehen dann recht human aus...

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: okay soweit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Sa 10.06.2006
Autor: FlorianJ

hi math..
danke für die hilfe.
ich versteife mich beim rechnen leider viel zu sehr, so dass ich die einfachen wege oft übergehe bzw nicht zurückschaue.

mit einer substitution 5sinh(t) =u bekomme ich nun

[mm] \integral_{}{}{-cosh^{2}t dt} [/mm]

= -5* [mm] (\bruch{1}{2}*sinh(t)cosh(t)+\bruch{1}{2}t) [/mm]

zugegebenermaßen habe ich die stammfunktion nachgeschlagen - kann mir noch jemand den weg dahin zeigen? wäre super.

danke soweit!!!
florian


Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Sa 10.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


Das Integral [mm] $\integral{\cosh^2(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\cosh(t)*\cosh(t) \ dt}$ [/mm] wurde mittels partieller Integration gelöst:

$u' \ = \ v \ = \ [mm] \cosh(t)$ $\Rightarrow$ [/mm]     $u \ = \ v' \ = \ [mm] \sinh(t)$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Bezug
Stammfunktion: weitere Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Sa 10.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


Der Trick mit dem Auseinanderziehen in zwei Teilintegral hat Dir matheversum bereits verraten.


Dabei ist das erste Integral mit einer weiteren Substutitution $z \ := \ [mm] u^2+25$ [/mm] zu lösen und das 2. Integral mit Deiner bereits genannten Variante $u \ := \ [mm] 5*\cosh(t)$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Sa 10.06.2006
Autor: FlorianJ

ahja klar!

[mm] \integral_{}{}{\bruch{1}{\wurzel{z}}dz} [/mm] - [mm] 2*\integral_{}{}{5cosh^{2}(t)dt} [/mm]

müsste gehen dann!

danke loddar :)

auch für den hinweis der PI ;-)

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: kleine Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Sa 10.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Florian!


Das erste Integral muss aber lauten: [mm] $\integral{\bruch{1}{2}*\wurzel{z} \ dz} [/mm] \ = \ ...$ .


Gruß
Loddar


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