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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | Lösen des Integrals unter verwengung einer geeigneter Substitution:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{\wurzel{4-x^{2}}}{x^{2}} dx} [/mm] |
hallo zusammen...
ich sehe mal wieder den wald vor lauter bäumen nicht...
finde hier einfach keine geschickte substitution um das integral gescheid zu lösen...
vielen dank schon mal im vorraus für eure hilfe...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 07.01.2006 | | Autor: | ManuP |
Hi!
Hilft es dir vielleicht weiter, wenn du den Zähler so umformst:
[mm] \wurzel{(2-x)(2+x)} [/mm] ?
dann hast du:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{\wurzel{(2-x)(2+x)}}{x^{2}} dx}
[/mm]
lg ManuP
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Gwin |
danke für deinen tipp aber das bringt mich so immer noch nicht weiter... habe nichts gefunden wie man das dann substituieren sollte...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 07.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Gwin
Wie wäre es mit x=cos(y) und der Bemerkung, dass [mm] $\int \frac{1}{\cos^2(y)}\,dy=\tan(y)+c$
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Gwin |
hallo...
nee ich komme nicht drauf *ärger*...
irgendwie ist das wohl noch zu hoch für mich...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 07.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Gwin
Sorry kleiner Fehler, man muss x=2 cos(y) substituieren.
[mm] $\int\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}dx$ [/mm]
Substitution [mm] $x=2\cos(y)\quad\Rightarrow\ dx=-2\sin(y)\,dy$ [/mm] ergibt
[mm] $\int-\frac{\sqrt{4-4\cos^2(y)}}{4\cos^2(y)}\,2\sin(y)\,dy$
[/mm]
[mm] $=\int-\frac{2\sin(y)}{4\cos^2(y)}\,2\sin(y)\,dy$ [/mm] weil [mm] $\sin^2(y)+\cos^2(y)=1$
[/mm]
[mm] $=-\int\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}dy$
[/mm]
[mm] $=-\int\tan^2(y)\,dy$
[/mm]
[mm] $=-\int 1+\tan^2(y)-1\,dy$ [/mm] weil [mm] $\frac{d}{dy}\tan(y)=1+\tan^2(y)$
[/mm]
[mm] $=-\tan(y)+y+c$
[/mm]
Jetzt die Substitution rückgängig machen.
[mm] $\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}=\frac{\sqrt{1-\cos^2(y)}}{\cos(y)}= \frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{\frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$
[/mm]
[mm] $\int\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\arccos(\frac [/mm] x2)+c$
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Gwin |
hi moudi...
erst einmal vielen dank das du so viel geduld mit mir hast...
also den anfang habe ich verstanden...
nur bei manchen punkten kann dir nicht so recht folgen...
Stelle 1:
- hier verstehe ich das lösen des integrals nicht
> [mm]=-\int 1+\tan^2(y)-1\,dy[/mm] weil [mm]\frac{d}{dy}\tan(y)=1+\tan^2(y)[/mm]
> [mm]=-\tan(y)+y+c[/mm]
>
> Jetzt die Substitution rückgängig machen.
>
> [mm]\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}=\frac{\sqrt{1-\cos^2(y)}}{\cos(y)}= \frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{\frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}[/mm]
>
- wo kommt das arccos( [mm] \bruch{x}{2}) [/mm] her ?
> [mm]\int\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\arccos(\frac x2)+c[/mm]
gibt es bei solch art aufgaben irgend ein spezielles prinzip wie man an die lösung rann geht oder ist das erfahrung oder einfaches ausprobieren ?
nochmals vielen dank an alle die bei der lösung mitgeholfen haben...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Sa 07.01.2006 | | Autor: | moudi |
> hi moudi...
Hallo Gwin
> erst einmal vielen dank das du so viel geduld mit mir
> hast...
> also den anfang habe ich verstanden...
> nur bei manchen punkten kann dir nicht so recht folgen...
>
> Stelle 1:
>
> - hier verstehe ich das lösen des integrals nicht
>
> > [mm]=-\int 1+\tan^2(y)-1\,dy[/mm] weil
> [mm]\frac{d}{dy}\tan(y)=1+\tan^2(y)[/mm]
> > [mm]=-\tan(y)+y+c[/mm]
Weil ich weiss, dass [mm] $\tan(y)'=1+\tan^2(y)$ [/mm] ist, kann ich eine Stammfunktion von [mm] $\tan^2(y)$ [/mm] bestimmen, indem ich umforme [mm] $\tan^2(y)=1+\tan^2(y)-1$. [/mm] Stammfunktion von [mm] $1+\tan^2(y)$ [/mm] ist [mm] $\tan(y)$ [/mm] und Stammfunktion von $1$ ist $y$. Daher ist [mm] $\tan(y)-y$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $\tan^2(y)$.
[/mm]
>
>
>
>
> >
> > Jetzt die Substitution rückgängig machen.
> >
> >
> [mm]\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}=\frac{\sqrt{1-\cos^2(y)}}{\cos(y)}= \frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{\frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}[/mm]
>
> >
> - wo kommt das arccos( [mm]\bruch{x}{2})[/mm] her ?
Es gilt ja [mm] $x=2\cos(y)$. [/mm] Nach y aufgelöst ergibt sich [mm] $y=\arccos(x/2)$.
[/mm]
>
> >
> [mm]\int\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\arccos(\frac x2)+c[/mm]
>
> gibt es bei solch art aufgaben irgend ein spezielles
> prinzip wie man an die lösung rann geht oder ist das
> erfahrung oder einfaches ausprobieren ?
Ja es braucht schon viel Erfahrung. Allerdings wenn wann Ausdrücke wie [mm] $\sqrt{1-x^2}$ [/mm] hat, dann kann die Substitution [mm] $x=\cos(y)$ [/mm] oder [mm] $x=\sin(y)$ [/mm] probieren, weil sich dann die Wurzel auflöst.
mfG Moudi
>
> nochmals vielen dank an alle die bei der lösung mitgeholfen
> haben...
>
> mfg Gwin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Gwin |
ah ok ich glaube ich habe es verstanden...
mir war die ganze zeit das mit dem $ [mm] \frac{d}{dy}\tan(y)=1+\tan^2(y) [/mm] $
nicht klar...
kannte bisher nur $ [mm] \frac{d}{dy}\tan(y)=\frac{1}{\cos^2(y)} [/mm] $
dann nochmals vielen dank und einen schönen abend...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Sa 07.01.2006 | | Autor: | moudi |
> ah ok ich glaube ich habe es verstanden...
>
> mir war die ganze zeit das mit dem
> [mm]\frac{d}{dy}\tan(y)=1+\tan^2(y)[/mm]
> nicht klar...
>
> kannte bisher nur [mm]\frac{d}{dy}\tan(y)=\frac{1}{\cos^2(y)}[/mm]
Also dann [mm] $\frac{1}{\cos^2(y)}=\frac{\cos^2(y)+\sin^2(y)}{\cos^2(y)}= \frac{\cos^2(y)}{\cos^2(y)}+\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}= 1+\tan^2(y)$
[/mm]
mfG Moudi
>
> dann nochmals vielen dank und einen schönen abend...
>
> mfg Gwin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo moudi!
Macht sich hier nicht besser: $x \ := \ [mm] \red{2}*\cos(y)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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