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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 27.12.2005 | | Autor: | Phecda |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ... ich suche eine unbestimmtes Integral von f(x) = [mm] 1/(x*(1+x^2)). [/mm] Mithilfe der Substitutionsregel erhalte ich F(x) = [mm] 2ln(1+x^2). [/mm] Bei der Probe ergibt die Ableitung von F(x): [mm] x/(1+x^2) [/mm] ! Mein Problem liegt nun darin, dass ich nicht genau weiß, welchen Ausdruck ich in f(x) substituieren muss, damit ich die Stammfunktion [mm] -0.5*ln((x^2+1)/x^2) [/mm] (das ist das richtige Ergebnis) erhalte. Danke für die Hilfe ..
Phecda
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Hallo Phecda,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo ... ich suche eine unbestimmtes Integral von f(x) =
> [mm]1/(x*(1+x^2)).[/mm] Mithilfe der Substitutionsregel erhalte ich
> F(x) = [mm]2ln(1+x^2).[/mm] Bei der Probe ergibt die Ableitung von
> F(x): [mm]x/(1+x^2)[/mm] ! Mein Problem liegt nun darin, dass ich
> nicht genau weiß, welchen Ausdruck ich in f(x)
> substituieren muss, damit ich die Stammfunktion
> [mm]-0.5*ln((x^2+1)/x^2)[/mm] (das ist das richtige Ergebnis)
> erhalte. Danke für die Hilfe ..
Zerlege den Bruch
[mm]\frac{1}
{{x\;\left( {1\; + \;x^2 } \right)}}\; = \;\frac{A}
{x}\; + \;\frac{{B\;x\; + \;C}}
{{1\; + \;x^2 }}[/mm]
Näheres dazu findest Du unter ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Di 27.12.2005 | | Autor: | Phecda |
Hi leute ..danke für eure hilfe :) hat mir viel gebracht :P ..
mfg Phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 27.12.2005 | | Autor: | dominik |
1. Zerlegung in Teilbrüche:
[mm] \bruch{1}{x*(1+x^2)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{1+x^2}=\bruch{A*(1+x^2)+B*x}{x*(1+x^2)} \Rightarrow A*(1+x^2)+B*x=A+A*x^2+B*x=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $A=1 [mm] \wedge [/mm] B=-x$ [mm] \Rightarrow \integral {\bruch{1}{x*(1+x^2)} dx}= \integral {\bruch{1}{x}dx}- \integral {\bruch{x}{1+x^2} dx}
[/mm]
2. Nun im zweiten Integral substituieren:
[mm] $1+x^2=u \Rightarrow \bruch{du}{dx}=2x \Rightarrow x*dx=\bruch{1}{2}du$
[/mm]
Also:
[mm] \integral {\bruch{1}{x}dx}- \integral {\bruch{x}{1+x^2} dx}= \integral {\bruch{1}{x}dx}- \bruch{1}{2}* \integral {\bruch{1}{u} du}=ln \vmat{x}-\bruch{1}{2}ln \vmat{u}=ln \vmat{x}-\bruch{1}{2}ln \vmat{1+x^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*2*ln \vmat{x}-\bruch{1}{2}ln \vmat{1+x^2}=\bruch{1}{2}*ln(x^2)-\bruch{1}{2}ln(1+x^2)=\bruch{1}{2}*ln \bruch{x^2}{x^2+1}=- \bruch{1}{2}*ln \bruch{x^2+1}{x^2}
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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