Stammfktn zu ln(x^2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gesucht ist eine Stammfktn zu [mm] ln(x^2)
[/mm]
mit Integration durch Substitution |
mit [mm] u:=x^2 [/mm] und du=2xdx :
[mm] \integral{ln(u)*1/(2x) du} [/mm]
kommt man damit irgendwie auf eine Lösung?
Ich habe mit mehfacher part. Integr. im Kreis herumgerechnet, wobei ich für 1/(2x)=1/u' eingesetzt habe.
Es kommt nicht sinnvolles dabei heraus.
[Es ist natürlich klar, dass mir [mm] ln(x^2)=2*lnx [/mm] die Welt etwas besser aussieht, aber ich will "mit der Brechstange" substituieren.]
Ursprünglich stammt diese Aufgabe von einem (!) Ansatz zur Aufgabe
[mm] \integral{ln(x)*1/ \wurzel{x} dx} [/mm]
mit Substitution u:= [mm] \wurzel{x} [/mm] ->
[mm] \integral{ln(u^2)*1/u* dx} [/mm]
[mm] [/mm]
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Hallo geigenzaehler,
> gesucht ist eine Stammfktn zu [mm]ln(x^2)[/mm]
>
> mit Integration durch Substitution
>
> mit [mm]u:=x^2[/mm] und du=2xdx :
>
>
> [mm]\integral{ln(u)*1/(2x) du} [/mm]
>
> kommt man damit irgendwie auf eine Lösung?
>
> Ich habe mit mehfacher part. Integr. im Kreis
> herumgerechnet, wobei ich für 1/(2x)=1/u' eingesetzt
> habe.
>
> Es kommt nicht sinnvolles dabei heraus.
>
Mit partieller Integration auf die gegebene Funktion
solltest Du zu einer Stammfunktion gelangen.
> [Es ist natürlich klar, dass mir [mm]ln(x^2)=2*lnx[/mm] die Welt
> etwas besser aussieht, aber ich will "mit der Brechstange"
> substituieren.]
>
>
>
> Ursprünglich stammt diese Aufgabe von einem (!) Ansatz zur
> Aufgabe
>
> [mm]\integral{ln(x)*1/ \wurzel{x} dx} [/mm]
>
> mit Substitution u:= [mm]\wurzel{x}[/mm] ->
>
> [mm]\integral{ln(u^2)*1/u* dx} [/mm]
>
Hier muß auch das "dx" ersetzt werden.
Dann führt dies auf obenstehendes Integral.
>
> [mm][/mm]
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | bzgl.
$ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $ |
$ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $
Substitution u:=sqrt(x)
...= $ \integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx} $ = $ \integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2* \integral{ln(u^2)*du$
dann Subst. v:=u^2
$ = 2* $ \integral{ln(v)*dv*1/(2u)} $ = \integral{ln(v)*dv*1/u} $
Kann man jetzt hier noch partiell integrieren (mit g=ln(v) und h'= 1/u --- geht das mit 2 versch. Variablen?) und falls ja waere es sinnvoll oder geht es nicht auf diesem Wege mit der Substitution?
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Hallo geigenzaehler,
> bzgl.
>
> [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm]
>
> Substitution u:=sqrt(x)
>
> ...= [mm]\integral{ln(x)\cdot{}1/ \wurzel{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2* \integral{ln(u^2)*du[/mm]
>
Auf dieses Integral kannst Du jetzt
durch partielle Integration berechnen.
>
>
>
> dann Subst. [mm]v:=u^2[/mm]
>
> [mm]= 2*[/mm] [mm]\integral{ln(v)*dv*1/(2u)}[/mm] [mm]= \integral{ln(v)*dv*1/u}[/mm]
>
> Kann man jetzt hier noch partiell integrieren (mit g=ln(v)
> und h'= 1/u --- geht das mit 2 versch. Variablen?) und
> falls ja waere es sinnvoll oder geht es nicht auf diesem
> Wege mit der Substitution?
u ist in diesem Integral noch zu ersetzen,
womit man wieder beim Ausgangsintegral
angelangt ist.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
"> $ \integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du $
>
Auf dieses Integral kannst Du jetzt
durch partielle Integration berechnen. "
Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs ist ja recht einfach.
Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat ln(x^2)=2ln(x) nicht parat...
Daher mein Versuch, alles durc part. Integr. und Substitution zu loesen ,was scheinbar ohne o. g. Beziehung nicht geht.
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Hallo geigenzaehler,
> "> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du[/mm]
>
> >
>
>
> Auf dieses Integral kannst Du jetzt
> durch partielle Integration berechnen. "
>
>
> Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann
> ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs
> ist ja recht einfach.
>
> Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat
> [mm]ln(x^2)=2ln(x)[/mm] nicht parat...
>
Die partielle Integration geht trotzdem:
[mm]\integral_{}^{}{\ln\left(x^{2}\right) \ dx}=x*\ln\left(x^{2}\right)-\integral_{}^{}{x*\left( \ \ln\left(x^{2}\right) \ \right)' \ dx}[/mm]
> Daher mein Versuch, alles durc part. Integr. und
> Substitution zu loesen ,was scheinbar ohne o. g. Beziehung
> nicht geht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo geigenzaehler,
>
> > "> [mm]\integral{ln(u^2)\cdot{}1/u\cdot{} dx} =2\cdot{} \integral{ln(u^2)\cdot{}du[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Auf dieses Integral kannst Du jetzt
> > durch partielle Integration berechnen. "
> >
> >
> > Aber nur, wenn ich das Quadrat vom ln herausziehe und dann
> > ganz normal die Stammfktn zu 1*ln(u) ermittle, oder? DAs
> > ist ja recht einfach.
> >
> > Die Frage kommt daher: Man nehme an, der Rechnende hat
> > [mm]ln(x^2)=2ln(x)[/mm] nicht parat...
> >
>
>
> Die partielle Integration geht trotzdem:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\ln\left(x^{2}\right) \ dx}=x*\ln\left(x^{2}\right)-\integral_{}^{}{x*\left( \ \ln\left(x^{2}\right) \ \right)' \ dx}[/mm]
ich rechne mal das Ergebnis zurück:
[mm] $\{x*\ln(x^2)\}'=1*\ln(x^2)+x*\frac{1}{x^2}*2x=\ln(x^2)+2\,.$
[/mm]
Also
[mm] $\int \ln(x^2)dx=x*\ln(x^2)-2x.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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Oh tatsächlich, es geht...
Danke für die Antworten!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Geigenzähler,
> gesucht ist eine Stammfktn zu [mm]ln(x^2)[/mm]
auch, wenn Du das so nun nicht machen wolltest: Zunächst gilt (für $x > [mm] 0\,$)
[/mm]
[mm] $\int \ln(x^2)dx=2*\int \ln(x)dx\,.$
[/mm]
Mit [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] ist [mm] $g(y)=\ln(y)=f^{-1}(y)\,.$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Hiermit folgt dann, dass
[mm] $G(y):=y*f^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))=y*\ln(y)-e^{\ln(y)}=y*(\ln(y)-1)$ [/mm] (beachte [mm] $F(x)=f(x)=e^x$)
[/mm]
eine Stammfunktion von [mm] $g=f^{-1}\,$ [/mm] ist. Also
[mm] $\int \ln(x^2)dx=2*G(x)=2x*(\ln(x)-1)\,.$
[/mm]
P.S. Den Fall $x < [mm] 0\,$ [/mm] kannst Du auf den Fall $x > [mm] 0\,$ [/mm] zurückführen, oder Du benutzt
sowas wie [mm] $\ln(x^2)=2\ln(|x|)\,.$
[/mm]
P.P.S. Der einzige, wirkliche, Grund, warum ich diese Antwort noch ergänzt
habe, ist eigentlich der Verweis auf die Formel für die Findung einer
Stammfunktion der Umkehrfunktion.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
wie schon gezeigt, ist partielle Integration hier auch direkt möglich. Eine Lösung nur durch Substitution wird man wohl nur erreichen, wenn man die Stammfunktion für die Substitution verwendet, was vollkommen witzllos ist.
Man kann aber auch erst [mm] x=e^u [/mm] substituieren und dann partiell weitermachen, und nur um die Mitteilung dieses Lösungsweges ging es mir bei dieser Antwort.
Es kommt halt drauf an, mit welchen Funktionen man lieber hantiert.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 21.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo,
>
> wie schon gezeigt, ist partielle Integration hier auch
> direkt möglich. Eine Lösung nur durch Substitution wird
> man wohl nur erreichen, wenn man die
eine. 
> Stammfunktion für die
> Substitution verwendet, was vollkommen witzllos ist.
> Man kann aber auch erst [mm]x=e^u[/mm] substituieren und dann
> partiell weitermachen, und nur um die Mitteilung dieses
> Lösungsweges ging es mir bei dieser Antwort.
Habe ich auch schonmal gerechnet - aber in Verschleierung kommt dann
dennoch [mm] $\ln(x^2)=2*\ln(|x|)$ [/mm] zum Tragen. (Wobei hier $x=|x|$ wegen [mm] $x=e^u\,.$)
[/mm]
> Es kommt halt drauf an, mit welchen Funktionen man lieber
> hantiert.
Man kann so auch obige Formel, auf die ich verwiesen habe, herleiten:
Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] habe die Umkehrfunktion [mm] $f\,.$ [/mm] Dann folgt mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] und [mm] $g(y)=x\,$
[/mm]
wegen $dy=f'(x)dx$ und mit [mm] $F\,$ [/mm] als Stammfunktion zu [mm] $f\,$
[/mm]
[mm] $\int g(y)dy=\int xdy=\int x*f'(x)dx=x*f(x)-\int f(x)dx=x*f(x)-F(x)\,,$
[/mm]
wobei rechterhand noch "die falsche Variable [mm] $x\,$" [/mm] steht. Beachtet man [mm] $f(x)=y\,$
[/mm]
und [mm] $x=g(y)\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $\int g(y)dy=g(y)*y-F(g(y))\,.$
[/mm]
Bei Deinem Vorschlag ist [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $g(y)=f^{-1}(y)=\ln(y)$ [/mm] für $y > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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