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Forum "Integralrechnung" - Stammfkt. durch Substitution
Stammfkt. durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Stammfkt. durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 So 01.03.2009
Autor: richie90

Aufgabe
10)
   a) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx} [/mm]

Substitutionsregel: [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))\*g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz} [/mm]

=> g(x) = [mm] x^2+x; [/mm] g'(x) = 2x+1; f(z) = ???

Hallo,

also ich komme einfach nicht hinter die Substitutionsregel. Ich hab das Gefühl, dass ich hier ein relativ einfaches Beispiel erwischt hab, trotzdem komme ich nicht auf f(z).

Mit freundlichen Grüßen,

Richie

        
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 So 01.03.2009
Autor: MathePower

Hallo richie90,

> 10)
>     a) [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx}[/mm]
>  
> Substitutionsregel: [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))\*g'(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}[/mm]
>  
> => g(x) = [mm]x^2+x;[/mm] g'(x) = 2x+1; f(z) = ???
>  Hallo,
>  
> also ich komme einfach nicht hinter die Substitutionsregel.
> Ich hab das Gefühl, dass ich hier ein relativ einfaches
> Beispiel erwischt hab, trotzdem komme ich nicht auf f(z).


Führe zunächst eine Polynomdivision durch.

Für den dann entstehenden gebrochen Teil
kannst Du die Substitution [mm]u=2x-1[/mm] anwenden.


>  
> Mit freundlichen Grüßen,
>  
> Richie


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 01.03.2009
Autor: richie90

Aufgabe
Polynomdivision:

  [mm] (5x^2+x):(2x-1) [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4} [/mm]
[mm] -(5x^2-\bruch{5}{2}x) [/mm]
_________
  [mm] \bruch{7}{2}x [/mm]
[mm] -(\bruch{7}{2}x-\bruch{7}{4}) [/mm]
_________
      [mm] \bruch{7}{4} [/mm]

Was mache ich denn dann jetzt mit dem Rest?

Bezug
                        
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 So 01.03.2009
Autor: MathePower

Hallo richie90,

> Polynomdivision:
>  
> [mm](5x^2+x):(2x-1)[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}[/mm]
>  [mm]-(5x^2-\bruch{5}{2}x)[/mm]
>  _________
>    [mm]\bruch{7}{2}x[/mm]
>  [mm]-(\bruch{7}{2}x-\bruch{7}{4})[/mm]
>  _________
>        [mm]\bruch{7}{4}[/mm]
>  Was mache ich denn dann jetzt mit dem Rest?


Nun jetzt kannst Du also schreiben:

[mm]\bruch{5x^{2}+x}{2x-1}=\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}+\bruch{7/4}{2x-1}[/mm]


Das Integral [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4} \ dx}[/mm]  kannst Du ohne Substitution berechnen.

Für das Integral [mm]\integral_{}^{}{\bruch{7/4}{2x-1} \ dx}[/mm]  kannst Du die Substitution [mm]u=2x-1[/mm] verwenden.

Gruß
MathePower


Bezug
                                
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 So 01.03.2009
Autor: richie90

Aufgabe
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{7}{4(2x-1)} dx} [/mm]

Das erste Integral ist ja wie gesagt ohne Substitution zu lösen. Das zweite Integral jedoch mit Substitution.

g(x) = 2x-1
g'(x) = 2

=> f(z) = [mm] \bruch{1}{4z}\*\bruch{2}{7} [/mm] = [mm] \bruch{1}{14z} [/mm]

Wie ich festgestellt habe, ist f(z) aber falsch.

Wie lautet es richtig und warum?

Bezug
                                        
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 So 01.03.2009
Autor: Loddar

Hallo richie!


[mm] $$\integral{\bruch{7}{4*(2x-1)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{z} \ \bruch{dz}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{4}*\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{8}*\ln|z| [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 So 01.03.2009
Autor: richie90

Aufgabe
f(z) = [mm] \bruch{1}{2}\*\bruch{1}{z} [/mm]

Kannst du mir erklären, warum f(z) so aussieht?

Bezug
                                                        
Bezug
Stammfkt. durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Mo 02.03.2009
Autor: glie

Hallo Richie,

also zunächst mal ein allgemeiner Tipp:
Bei der Integration mit Substitution würde ich zunächst die Integrationsgrenzen weglassen und das unbestimmte Integral berechnen, denn dann sparst du dir das Umrechnen der Integrationsgrenzen.

Machen wir es langsam:

[mm] \integral{\bruch{7}{4(2x-1)} dx}=\integral{\bruch{7}{4}*\bruch{1}{2x-1} dx}=\bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{2x-1} dx} [/mm]

Wir substituieren

[mm] \mm{z=2x-1} [/mm]

Dann gilt

[mm] \bruch{dz}{dx}=2 [/mm]
[mm] \gdw dx=\bruch{dz}{2} [/mm]


Also erhalten wir:

[mm] \bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{z}*\bruch{dz}{2}}=\bruch{7}{4}*\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{z} dz}=\bruch{7}{8}*ln|z|+c=\bruch{7}{8}*ln|2x-1|+c [/mm]


Gruß Glie

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