matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitsrechnungStahlstifte und kumulierte W.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Stahlstifte und kumulierte W.
Stahlstifte und kumulierte W. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stahlstifte und kumulierte W.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Do 04.03.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
1. Die Länge von Stahlstiften ist angenähert normalverteilt mit [mm] $\mu [/mm] = 15$. Ermittle die Standardabweichung, wenn $98 % $ der Stifte zwischen $14$ und $16$ mm lang sind.

2.
In einer Trinkanlage werden Flaschen vor dem Wiederauffüllen gewaschen. Die Arbeitszeit X (in Sekunden) sei angenähert normalverteilt [mm] $\mu_{X} [/mm] = 120$ und  [mm] $\sigma_{X}=15$. [/mm] Die Arbeitszeit Y ( in Sekunden) für das Füllen sei angenähert normalverteilt mit [mm] $\mu_{Y}=54$ [/mm] und [mm] $\sigma_{Y}=5$. [/mm]

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Waschen und Füllen einer Flasche zusammen nicht länger als 3 Minuten dauert?

1. Da dies in der [mm] 3\Sigma [/mm] Umgebung liegt, müsste die Standardabweichung [mm] \frac{1}{3} [/mm] sein...


2. Diese Aufgabe ist vor einiger Zeit mal ausgelaufen; habe immer noch nicht herausgefunden wie ich sie bewältigen könnte.

Ansatz war:

P(X+Y [mm] \le [/mm] 180) nur, wie behandle ich X+Y ??



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt  und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
Stahlstifte und kumulierte W.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 04.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> 1. Die Länge von Stahlstiften ist angenähert
> normalverteilt mit [mm]\mu = 15[/mm]. Ermittle die
> Standardabweichung, wenn [mm]98 %[/mm] der Stifte zwischen [mm]14[/mm] und [mm]16[/mm]
> mm lang sind.
>  
> 2.
>  In einer Trinkanlage werden Flaschen vor dem
> Wiederauffüllen gewaschen. Die Arbeitszeit X (in Sekunden)
> sei angenähert normalverteilt [mm]\mu_{X} = 120[/mm] und  
> [mm]\sigma_{X}=15[/mm]. Die Arbeitszeit Y ( in Sekunden) für das
> Füllen sei angenähert normalverteilt mit [mm]\mu_{Y}=54[/mm] und
> [mm]\sigma_{Y}=5[/mm].
>
> Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Waschen und
> Füllen einer Flasche zusammen nicht länger als 3 Minuten
> dauert?
>  1. Da dies in der [mm]3\Sigma[/mm] Umgebung liegt, müsste die
> Standardabweichung [mm]\frac{1}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sein...

Nein, so "grob" können wir da nicht rangehen :-)
Also, was wissen wir:

98 Prozent aller Stifte sind zwischen 14mm und 16mm lang, Erwartungswert ist \mu = 15mm.
Das heißt:

Sei X die Länge der Stahlstifte mit Erwartungswert \mu und Standardabweichung \sigma.
Dann ist

\frac{X-\mu}{\sigma}

standardnormalverteilt (merken!).
Wir wissen aus der Aufgabenstellung:

$P(14 \le X \le 16) = 0.98$

Nun umformen:

$0.98 = P(14 \le X \le 16) = P\left(\frac{14-\mu}{\sigma}\le \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{16-\mu}{\sigma}\right)$

$\mu = 15$ wissen wir, und der mittlere Term ist ja nun standardnormalverteilt:

$= P\left(\frac{-1}{\sigma}\le Z} \le \frac{1}{\sigma}\right)$

Nun können wir also in die \Phi - Funktion umschreiben:

$= \Phi(1/\sigma) - \Phi(-1/\sigma)$

Wegen $\Phi(-z) = 1-\Phi(z)$ folgt:

$= \Phi(1/\sigma) - (1-\Phi(1/\sigma))$

$ = 2*\Phi(1/\sigma) - 1$.

Alles nachvollzogen? Dann nun nach \Phi(...) umstellen, Wert in der Tabelle raussuchen und \sigma bestimmen!

> 2. Diese Aufgabe ist vor einiger Zeit mal ausgelaufen; habe
> immer noch nicht herausgefunden wie ich sie bewältigen
> könnte.
>
> Ansatz war:
>
> P(X+Y [mm]\le[/mm] 180) nur, wie behandle ich X+Y ??

Der Ansatz ist richtig.
Was du nun wissen musst, ist, wie die Zufallsvariable $Z = X+Y$ verteilt ist.
Wenn X normalverteilt mit Erwartungswert [mm] \mu_{1} [/mm] und Standardabweichung [mm] \sigma_{1}^{2}, [/mm] und Y normalverteilt mit Erwartungswert [mm] \mu_{2} [/mm] und Standardabweichung [mm] \sigma_{2}^{2}, [/mm] dann ist $Z = X+Y$ ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert [mm] $\mu_{Z} [/mm] = [mm] \mu_{1}+\mu_{2}$ [/mm] und Standardabweichung [mm] $\sigma_{Z}^{2} [/mm] = [mm] \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}$, [/mm] d.h.

[mm] $\sigma_{Z} [/mm] = [mm] \sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}$. [/mm]

Diese Werte solltest du nun erstmal ausrechnen.
Nun kannst du wie bei 1. vorgehen:

$P(X+Y  = Z [mm] \le [/mm] 180) = [mm] P\left(\frac{Z-\mu_{Z}}{\sigma_{Z}} \le \frac{180 - \mu_{Z}}{\sigma_{Z}}\right) [/mm] = ...$

(Achso: Das Z ist hier jetzt natürlich nicht standardnormalverteilt, die Zufallsvariable heißt hier einfach "Z". Aber [mm] \frac{Z-\mu_{Z}}{\sigma_{Z}} [/mm] ist wieder standardnormalverteilt.)

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Stahlstifte und kumulierte W.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 04.03.2010
Autor: kushkush

Ich habe aufgelöst, allerdings ist mir etwas aufgefallen: wieso wird bei den Grenzen nicht $0.5$ hin bzw. weggezählt wie sonst üblich?

für die Stifte erhalte ich eine Standardabweichung von : $0.5$

und bei der Wahrscheinlichkeit des Waschen und Füllen: 96%




Bezug
                        
Bezug
Stahlstifte und kumulierte W.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Do 04.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Ich habe aufgelöst, allerdings ist mir etwas aufgefallen:
> wieso wird bei den Grenzen nicht [mm]0.5[/mm] hin bzw. weggezählt
> wie sonst üblich?

Nein.
Das macht man nur bei einer Binomial-Verteilungs-Approximation!
Man macht das, um den Fehler der Approximation zu verringern.
Hier findet aber gar keine Approximation statt.

> für die Stifte erhalte ich eine Standardabweichung von :
> [mm]0.5[/mm]

Ich komme auf:

[mm] $\Phi(1/\sigma) [/mm] = 0.99$,

also

[mm] $\frac{1}{\sigma} [/mm] = 2.326 [mm] \Rightarrow \sigma [/mm] = 0.43$

....

> und bei der Wahrscheinlichkeit des Waschen und Füllen: 96%

Ich komme auf [mm] $\mu_{Z} [/mm] = 174, [mm] \sigma_{Z} [/mm] =  15.811$.
Damit erhalte ich

P(Z [mm] \le [/mm] 180) = [mm] \Phi\left(\frac{180-\mu_{Z}}{\sigma_{Z}}\right) [/mm] = 0.65...

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Stahlstifte und kumulierte W.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Do 04.03.2010
Autor: kushkush

Beim ersten scheinen es Abweichungen von den Tabellen zu sein, und bei der zweiten komme ich nun ebenfalls auf dieses Ergebnis.



Dankeschön

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]