Stärkster An-und Abstieg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] durch
$ f(x,y) = [mm] 1+2y-x^{2}y+x [/mm] $
a) Man bestimme an der Stelle (x,y)=(0,0) die Richtung des stärksten Anstiegs und die des stärksten Abstiegs.
b) Man stelle die Gleichung der Niveaulinie durch den Punkt (x,y)=(0,0) |
Mal wieder eine Aufgabe für mein Übungsblatt kommenden Montag.
Habe heute viel an der Differentialrechnung mit mehreren Veränderlichen gesessen, will aber morgen den freien Tag nutzen, um auch bei dieser Aufgabe weiterzukommen. Zu mal ich schätze, dass es nicht weit von den Differentialsachen weg ist.
Gibt es vielleicht irgendwelche Tipps wie ich an diese Aufgabe herangehen soll, bzw. was für mich wichtig ist? Ich habe es heute nur überflogen und gesehen, dass der Gradient etwas damit zu tun hat.
Werde mich morgen aber im Laufe des Tages sicherlich intensiver damit beschäftigen, damit ich auf Tipps eingehen kann und Hilfestellen auch gut gebrauchen kann.
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
Hallo kaykay,
deine Vermutung mit dem Gradienten ist richtig. Ich würde einfach mal auf dieses Skript verweisen (Seite 7 ff.)
Dort hast du alles, was du brauchst, und sogar ncoh ein Beispiel. Rechnen musst du dann natürlich noch selbst, und eventll. noch einmal über die Methode nachdenken.
Aber so als kleine Hilfe ist es sicherlich sehr gut.
![[]](/images/popup.gif) http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/MFI04/mfi2script_TeilE.pdf
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp, konnte vor allem das Beispiel gut nachvollziehen.
Habe jetzt für meine Funktion
$ [mm] f_{x} [/mm] = -2xy+1 $ und
$ [mm] f_{y} [/mm] = [mm] 2-x^{2} [/mm] $
gebildet,
Wenn ich dort die Stelle (0,0) einsetze, erhalte ich
$ [mm] f_{x} [/mm] = 1 $ und
$ [mm] f_{y} [/mm] = 2 $
Ist der Vektor v=(1,2) jetzt schon die RIchtung des stärksten Anstiegs?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Danke für den Tipp, konnte vor allem das Beispiel gut
> nachvollziehen.
>
> Habe jetzt für meine Funktion
> [mm]f_{x} = -2xy+1[/mm] und
> [mm]f_{y} = 2-x^{2}[/mm]
> gebildet,
>
> Wenn ich dort die Stelle (0,0) einsetze, erhalte ich
> [mm]f_{x} = 1[/mm] und
> [mm]f_{y} = 2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist der Vektor v=(1,2) jetzt schon die RIchtung des
> stärksten Anstiegs?
>
Ja.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Danke!!
Im Aufgabenteil b) ist jetzt ja nach der Niveaulinie gefragt. Ist es richtig, dass für die Niveaulinie gelten soll f(x,y)=c .
Wenn man also einsetzt f(0,0) erhält man:
[mm] 1+2*0-0^{2}*0+0=c
[/mm]
also die Niveaulinie ist c=1
Kann das so einfach sein, bzw stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Do 30.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke!!
>
> Im Aufgabenteil b) ist jetzt ja nach der Niveaulinie
> gefragt. Ist es richtig, dass für die Niveaulinie gelten
> soll f(x,y)=c .
> Wenn man also einsetzt f(0,0) erhält man:
> [mm]1+2*0-0^{2}*0+0=c[/mm]
> also die Niveaulinie ist c=1
Nein, die Niveaulinie ist die Menge aller Punkte (x,y) mit f(x,y)=1
FRED
>
> Kann das so einfach sein, bzw stimmt das?
|
|
|
| |
|
Also gefragt ist ja nach einer Gleichung der Niveauline durch (x,y)=(0,0)
> Nein, die Niveaulinie ist die Menge aller Punkte (x,y) mit
> f(x,y)=1
Ist dies dann eine Antwort auf die Frage? Also ist die gesuchte Gleichung eben dieses f(x,y)=1?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Also gefragt ist ja nach einer Gleichung der Niveauline
> durch (x,y)=(0,0)
>
> > Nein, die Niveaulinie ist die Menge aller Punkte (x,y) mit
> > f(x,y)=1
>
> Ist dies dann eine Antwort auf die Frage? Also ist die
> gesuchte Gleichung eben dieses f(x,y)=1?
Im Prinzip schon, man kann da aber auch durchaus noch was rechnen. Du kannst z.B. einen Funktionsgraphen angeben, der die Linie darstellt.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Ja genau, das habe ich gehofft. Aber wie komme ich auf diesen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo kaykay_22,
setze doch einfach mal den Wert von 1 in die Gleichung ein. Diese 1 kürzt sich mit der 1 aus der Funktionsvorschrift und übrig bleibt
[mm] 0 = y(2-x^2) + x [/mm] oder auch
[mm] y = \bruch{-x}{2-x^2} [/mm]
Das sieht doch schon recht brauchbar aus, oder?
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
