Stabilität, Nyquist etc. < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 06.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Hallo!
Ich schaue mir gerade den geschlossenen Regelkreis mit seine Stabilität an.
Standardregelkreis:![[]](/images/popup.gif) Bild
Erstmal gibt es eine Übertragungsfunktion für das Führungsverhalten(geschlossener Regelkreis):
Fw(s) = [mm] \frac{Fo(s)}{1+Fo(s)}
[/mm]
Übertragungsfunktion der offenen Regelschleife(ohne Rückkopplung):
Fo(s) = Fr(s)*Fs(s)
Fr(s)... Übertragungsfunktion des Regler
Fs(s)... Übertragungsfunktion der Regelstrecke
Um zu Überprüfen, ob der geschlossene Regelkreis stabil, instabil oder grenzstabil ist, berechnet man die Polstellen(die Nullstellen des Nenners) von Fw.
Wenn [mm] [b]alle[\b] [/mm] Pole einen neg. Realteil haben, dann ist das System stabil.
Wenn mindestens ein Pol einen pos. Realteil hat, dann ist das System instabil.
Wenn keine Pole [b]einen pos. Realteil[b] haben, jedoch Pole auf der imaginären Achse liegen, dann ist das System grenzstabil.
Ist das soweit richtig?
Gut ok und nun zum Nyquistkriterium. Hier werden doch diese Stabilitätsaussagen graphisch getroffen.
Man schaut mit Hilfe dem Bodediagramm oder der Ortskurve von Fo(jw), ob der geschlossene Regelkreis stabil, instabil, oder grenzstabil ist.
Nyquist nimmt hier den Nenner von Fw und setzt diesen =0:
1+Fo(s) = 0 und formt: Fo(s)=-1 und es gilt: s=jw
1. Warum nimmt er den Nenner von Fw her?
2. Warum setzt er diesen Null?
3. Warum setzt man für s gerade "jw" ein? Weil jw eine Polstelle ist, die sich auf der imaginären Achse befindet und somit müsste Fo grenzstabil sein? Oder müsste Fw grenzstabil sein? Ich weiß jetzt nicht ganz wie Fw mit Fo zusammenhängt.
4. Hat das irgendetwas mit dem einsetzen von -1 in Fo zu tun? (Fo/(1+Fo) --> -1/0 --> Was sagt das aus?)
Ich hoffe ihr könnt mir hier das erklären bitte!
mfg
MrAnonym
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
Deine Aussagen zu den verschiedenen Typen der Stabilität sind richtig.
Wenn man nun die Stabilität des Regelkreises überprüfen will, so wird dieser doch instabil, wenn sein Nennerausdruck zu Null wird, denn dann würde der Gesamtausdruck über alle Grenzen wachsen und sicherlich zu einer Instabilität führen.
Dass man dann dabei [mm] s = j \omega [/mm] setzt, liegt einfach daran, dass man an der Ortskurve der Übertragungsfunktion, also der Kurve in Abhängigkeit von der Frequenz, interessiert ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 06.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Hm ok danke.
Aber wenn wir 1+Fo(s)=0 setzten und dann auf s umformen, dann erhalten wir ja alle möglichen Lösungen für s, wo der Nenner 1+Fo=0 wird.
Wenn alle Polstellen hier einen neg. Realteil haben und man setzt die Lösungen dann ein, dann wird der Nenner ja Null oder? Also steht dann nicht Fo/(1+Fo) da sondern Fo/0.
Dann ist es ja trotzdem instabil, oder? Weil man rechnent sich ja jene Lösung für s aus, sodass der Nenner Null wird.
Jedoch darf ja der Nenner NICHT Null werden, sondern wir wollen ja stabiles Verhalten.
Ich bin ein wenig verwirrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 08.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
hier muss man höllisch aufpassen, um nicht auf die falsche Bahn zu geraten.
Die Übertragungsfunktion des Regelkreises beinhaltet den Nennerausdruck, den Du auch schon angegeben hast, nämlich
[mm] 1 + F_0(s) [/mm] oder auch
[mm] F_0(s) = - 1 [/mm]
Durch diesen Ausdruck ist die Schwingungsbedingung des Regelkreises festgelegt, der Ausgang wird auf den Eingang zurückgekoppelt und das auch noch mit negativem Vorzeichen, so dass aus der Gegenkopplung eine Mitkopplung wird und das Ding zu schwingen beginnt. Dass man da aufpassen muss, erkannte schon Barkhausen 1928. Was wir ja aber wollen, ist mithilfe der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises, das wird gerade durch [mm] F_0(s) [/mm] beschrieben, eine Aussage über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises zu machen. Das Nennerpolynom des offenen Regelkreises ist eine Funktion von
[mm] s = \sigma + j \omega [/mm], was Du dir als rechteckiges Koordinatensystem, so wie man es auch malt, gut vorstellen kannst.Die analytische Abbildung von s auf [mm] F_0(s)+1 = 0 [/mm] führt zu einer ganzen Schar von Ortskurven, die alle eine interessante Eigenschaft haben, nämlich die, dass eine Abbildung von Parallelen zur reellen Achse oder zur imaginären Achse ([mm] \omega [/mm] konstant oder [mm] \sigma [/mm] konstant) gerade durch den Punkt -1 führen in der Abbildung, falls auf einer dieser Parallen sich ein Pol befindet, der in der linken s-Halbebene liegt. Es findet, der Funktionentheorie sei Dank, bei einem Nennerpolynom der Ordnung n eine n-fache Überdeckung des Punktes (-1 / j0) statt.
Wenn man nun die aus der Netzwerktheorie bekannte Bedingung sich anschaut, dass die Pole Deines Nenerpolynoms in der linken s-Halbebene liegen müssen für ein stabiles Regelverhalten, oder wenigstens auf der imaginären Achse für ein grenzstabiles Verhalten, so entdeckt man folgendes: Schaut man sich die Abbildungen etwas genauer an, so stellt man fest, dass bei einem grenzstabilen Verhalten (Pol auf der Imaginärachse) die Abbildung, die man meist einfach als Ortskurve bezeichnet, gerade durch den kritischen Punkt (-1 / j0) läuft. Gibt es Pole in der linken s-Halbebene, so kreuzen deren Ortskurven gerade diesen kritischen Punkt, wie oben bereits gesagt, die Abbildung der imaginären Achse schneidet die negative reelle Achse in einem Punkt rechts dieses kritischen Punktes. Das ist gerade der Grund, weswegen ich mich nicht um verschiedene Dämpfungsfaktoren [mm] \sigma [/mm] kümmern muss, sondern es langt, die Abbildung, sprich die Ortskurve, für [mm] s = j \omega [/mm] sich anzuschauen. Liegt der kritische Punkt bei wachsenden Frequenzen links von dieser Ortskurve, so ist das Ganze stabil. Das ist die sogenannte Linke-Hand-Regel.
Du siehst, da steckt eine Menge Funktionentheorie drin, die aber heute wohl kaum mehr gelehrt wird.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 08.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Danke, aber genau das verstehe ich ja nicht wirklich.
Wir wissen, dass die Übertragungsfunktion Fo(s)/(1+Fo(s)) ist.
Was ist nun, wenn der Nenner 1+Fo(s)=0 wird? Was passiert da? Dann haben wir Fo(s)/0. Ist das System dann instabil? Warum?
"Die analytische Abbildung von s auf $ [mm] F_0(s)+1 [/mm] = 0 $ führt zu einer ganzen Schar von Ortskurven, die alle eine interessante Eigenschaft haben, nämlich die, dass eine Abbildung von Parallelen zur reellen Achse oder zur imaginären Achse ($ [mm] \omega [/mm] $ konstant oder $ [mm] \sigma [/mm] $ konstant) gerade durch den Punkt -1 führen in der Abbildung, falls auf einer dieser Parallen sich ein Pol befindet, der in der linken s-Halbebene liegt."
Was meinst du mit dem Satz? Hast du ein Bild ev. davon bitte? Oder vllt kannst du mir es ein bisschen einfach erklären, weil ich mir nicht wirklich vorstellen kann was du meinst.
Ich verstehe eben auch noch nicht, warum man gerade den Nenner der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis = 0 setzt. Was erzielt man damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 So 08.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
die Darstellung
$ [mm] F_0(s) [/mm] = -1 im Zusamenhang mit einem Regelkreis bedeutet doch, dass das Ausgangssignal in voller Größe (Betrag 1) und phasenverkehrt (da Minuszeichen) auf den Eingang des Regelkreises rückgekoppelt wird und dort, wegen des Minuszeichens am Addierglied, zu einer Mitkopplung führt. Das System schwingt auf und wird instabil. Das möchte man vermeiden, mehr steckt da nicht dahinter.
Ein Bild zur genannten Abbildung habe ich leider nicht, da müsstest Du selbst was rechnen und malen, tut mir leid.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 08.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Hm, hier der Standardregelkreis nochmal: Bild
Fr und Fs kann man ja zu einem Block Fo machen. Ich dachte eine negative Rückkopplung heißt Gegenkopplung?
Das auf dem bild ist doch eine Gegekopplung oder? Es wird Ausgangssignal - Eingangssignal gerechnet.
Was meinst du dann mit Mitkopplung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
in diesem Bild fehlt eigentlich ein Minuszeichen an der auf den Eingang rückgekoppelten Größe das Epsilon ist
[mm] \epsilon = w - x [/mm]
und wenn nun aufgrund einer Phasendrehung von 180 Grad, daraus ein
[mm] \epsilon = w + x [/mm]
wird, dann hat man eine unerwünschte Mitkopplung. Der Kreis aleine dient als Additionssymbol, so wie beim Zufügen der Störung Z. Ein Minuszeichen sollte deswegen dort noch auftauchen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 09.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Ah ok danke stimmt, da gehört ein Minus hin.
Also Fo verschiebt das Eingangssignal um 180°. Dann wird ja Eingangssignal - Ausgangssignal gemacht.
Und das Ausgangssignal hat ja einen neg. Wert da wo das Eingangssignal einen pos. Wert hat.
Z.b. 1 - (-1) = 2 ---> Es ist instabil.
Ist das so gemeint? Ich habe die Amplituden hergenommen.
Aber am Punkt (-1/0) ist doch das System grenzstabil. Und der Betrag von |Fo|(also die Verstärkung) ist da = 1. Laut obigen erklärungen muss es doch instabil sein, oder nicht? Wie hängt das nun mit dem Nyquistpunkt zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das ist eine Sache der Bezeichnungen. Ein Pol auf der imaginären Achse wird in der Regelungstechnik als grenzstabil bezeichnet. Dieser bildet sich nach meinen Erklärungen von weiter oben auf den Punkt (-1 / 0) ab. Eine Ausgangsschwingung mit einer Amplitude, die weder größer noch kleiner wird, bezeichnet man als grenzstabil. Das Ganze ist mehr ein theoretisches Gebilde, denn jede kleinste Störung kann solch ein System instabil werden lassen.
Ich kenne die Bezeichnungen zur Charakterisierung der Polstellen: Pole in der linken Halbebene führen zu stabilen Systemen, Pole auf der imaginären Achse zu grenzstabilen Systemen und Pole in der rechten Halbebene zu instabilen Systemen. Ein grenzstabiles System kann stabil sein, muss es aber nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 10.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Ok, danke dir.
Man sagt aber auch folgendes "Punkte, in denen der Nenner
von der Führungsübertragugnsfunktion null wird, sind kritische Punkte. Das sind mit der Gleichung genau die Punkte, in denen Fo=-1"
Aber was will der Satz aussagen?
Was sind kritische Punkte und wo kann ich sie finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das bezieht sich einfach auf die Nullstellen des Nenners der Übertragungsfunktion, um die geht es doch die ganze Zeit. Man nennt sie auch Pole der Übertragungsfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 11.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Hmm aso, danke und sorry "kritische Punkte" haben mich etwas verwirrt^^.
Also mit kritische Punkte meint man einfach die Nullstellen von 1+Fo?
In der Ortskurve ist ja Fo(jw)=-1 beim Punkt P(-1/0). Was sagt nun der Betrag von Fo(jw) aus?
Also wenn ich mir den Betrag von Fo(jw) berechne, der in dem Fall = 1 ist, um was handelt es sich dann? Um die Verstärkung?
Oder in welche Formel kann ich |Fo(jw)| einsetzen?
PS: Würde mich freuen, wenn du mir bei meiner anderen Frage zu einem Regelverfahren ebenfalls weiterhelfen könntest bitte :).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Do 12.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist eine Aussage über die rückgekoppelte Größe aus der Kaskadierung von Regler und Strecke auf den Eingang. Und dabei soll wieder ein stabiler Betrieb gewährleistet werden, damit nichts anfängt zu schwingen.
Die Amplitude allein muss jedoch nicht unbedingt eine kritische Größe sein, es kommt auch auf die Phase an und damit schließt sich der Kreis wieder zu den Diskussionen weiter oben in diesem Thread.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 12.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Danke, ja genau, die Stabilität hängt von Phase und Amplitude ab.
Aber ich verstehe nicht was der Betrag von Fo nun genau ist. Wo kann ich den Betrag von Fo sehen? Gibt es da eine Formel?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 13.06.2014 | | Autor: | MrAnonym |
Achso!
Der Betrag von Fo ist einfach das Amplitudenverhältnis zwischen Ausgang und Eingang, also somit die Verstärkung.
Richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 19.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist es und da diese Größe rückgekoppelt wird, beeinflusst sie das Stabilitätsverhalten des Regelkreises.
Mache Dir am besten anhand eines kleinen Blockschaltbildes nochmal klar, wo welche Größen auftreten. Du kannst zwar gut mit ihnen rechnen, aber Dir fehlt augenscheinlich das Gefühl dafür, was dies für einen Regelkreis bedeutet.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Do 19.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mr.Anonym,
die Antwort hast Du Dir unten schon selbst gegeben.
VG,
Infinit
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