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Hallo,
ich habe ein allgemeines Verständnisproblem was die Begriffe der "autonomen Systeme" und der "Stabilität" angeht.
Und zwar steht im Skript:
Ein autonomes System ist
[mm] \Phi'(t)=v(\Phi(t))
[/mm]
wobei v: M [mm] \to \IR [/mm] Vektorfeld, [mm] \Phi: [/mm] I [mm] \to [/mm] M.
Zunächst dazu: Ich verstehe diese Definition schon nicht richtig. Was verstehe ich hierunter genau? Ist das zum Beispiel einfach eine Differentialgleichung wie beispielsweise eine mit getrennten Veränderlichen: y' = f(x)*g(y) ?
Dann noch zum allgemeinen Verständnis:
Ein Vektorfeld ist doch ein Feld, welches alle möglichen Kurven und Richtungen enthält, oder? Also auch die Kurve, welche Lösung der Dgl ist.
Dann noch zum Begriff der Stabilität von autonomen Systemen. Bedeutet das, das man die Gültigkeit der gefundenen Lösung für eine Dgl untersucht? Also das heißt, wenn ich beispielsweise für ein Intervall I eine maximale Lösung der Dgl gefunden habe, wie diese sich verhält, wenn das Intervall z.B. um c verschoben wird, also I+c.
Dann haben wir dazu die Definition eines kritischen Punktes:
Jedes [mm] x_{0} \in [/mm] M mit [mm] v(x_{0})=0 [/mm] heißt kritischer Punkt des Vektorfeldes v:M [mm] \to \IR^{n}.
[/mm]
Das beutet ja, dass Nullstellen des Vektorfeldes kritische Punkte sind und was sagt mir das sonst noch in der Hinsicht auf die Stabilität?
Wäre wirklich dankbar, wenn jemand mir da zu etwas Durchsichtigkeit verhelfen kann!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mo 17.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe ein allgemeines Verständnisproblem was die
> Begriffe der "autonomen Systeme" und der "Stabilität"
> angeht.
>
> Und zwar steht im Skript:
> Ein autonomes System ist
> [mm]\Phi'(t)=v(\Phi(t))[/mm]
> wobei v: M [mm]\to \IR[/mm] Vektorfeld, [mm]\Phi:[/mm] I [mm]\to[/mm] M.
>
> Zunächst dazu: Ich verstehe diese Definition schon nicht
> richtig. Was verstehe ich hierunter genau? Ist das zum
> Beispiel einfach eine Differentialgleichung wie
> beispielsweise eine mit getrennten Veränderlichen: y' =
> f(x)*g(y) ?
Im einfachsten Fall, ja, wenn f(x)=1 für alle x [mm] \in [/mm] ..,
also die DGL y'=g(y) ist das einfachste Beispiel füe eine autonome DGL.
> Dann noch zum allgemeinen Verständnis:
> Ein Vektorfeld ist doch ein Feld, welches alle möglichen
> Kurven und Richtungen enthält, oder? Also auch die Kurve,
> welche Lösung der Dgl ist.
Hä ? Ein Vektorfeld ist eine Abbildung !
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorfeld
>
> Dann noch zum Begriff der Stabilität von autonomen
> Systemen. Bedeutet das, das man die Gültigkeit der
> gefundenen Lösung für eine Dgl untersucht? Also das
> heißt, wenn ich beispielsweise für ein Intervall I eine
> maximale Lösung der Dgl gefunden habe, wie diese sich
> verhält, wenn das Intervall z.B. um c verschoben wird,
> also I+c.
Nein. Für obige Frage und die unten siehe:
http://www.lohnt-nicht.de/files/Stabilitaet.pdf
FRED
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> Dann haben wir dazu die Definition eines kritischen
> Punktes:
> Jedes [mm]x_{0} \in[/mm] M mit [mm]v(x_{0})=0[/mm] heißt kritischer Punkt
> des Vektorfeldes v:M [mm]\to \IR^{n}.[/mm]
>
> Das beutet ja, dass Nullstellen des Vektorfeldes kritische
> Punkte sind und was sagt mir das sonst noch in der Hinsicht
> auf die Stabilität?
>
> Wäre wirklich dankbar, wenn jemand mir da zu etwas
> Durchsichtigkeit verhelfen kann!
>
> Viele Grüße
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Ok habe es gelesen, allerdings hilft es mir nur bedingt weiter. Es stehen dort quasi fast die gleichen Definitionen. Also die Definition von einem kritischen Punkt wiederzugeben ist kein Problem, aber ich wüsste mal gerne in umgangssprachlicher Weise was das bedeutet. Anschaulich ist mir nicht so ganz klar was da passiert...???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mo 17.09.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
die Stellen an denen [mm] y'(t_0)=0 [/mm] also f(y)=0 ergeben doch mit den Anfangsbedingungen [mm] y(t_0)=y_0 [/mm] die Lösung [mm] y=y_0 [/mm] die auf jeden fall Lösung der Dgl ist.
jetzt gibt es für die anderen Lösungen , die Möglichkeit,auf diese lösung zuzu laufen oder...
das liest du besser in dem Artikel, den fred zitiert hat nach.
Gruss leduart
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