Spurgeraden einer Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Mi 30.04.2008 | | Autor: | ONeil |
| Aufgabe | Bestimme die Spurgeraden der Ebene H!
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+6x_{3}-6=0 [/mm] |
Ich hab die Beispielaufgabe aus dem Lehrbuch und weiß auch die Lösungen z.B.:
[mm]s_{3}= \vektor{3 \\ 0 \\ 0} + \lambda \vektor{3 \\ -2 \\ 0}[/mm] ist die Spurgerade von H in der [mm]x_{1}x_{2}[/mm]-Ebene
Meine Frage:
Wie kommt man da drauf? Mir ist z.B. nicht klar warum man für [mm]s_{3}[/mm] den Punkt [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] nimmt? Oder warum im Richtungsvektor der Spurgerade [mm]-2[/mm] steht?
Könnte mir das bitte jemand erklären, mit allen Zwischenschritten?
Ich rätsel jetzt schon über ne Stunde da dran rum und komm nicht mal ansatzweise auf den Lösungsweg. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Bestimme die Spurgeraden der Ebene H!
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+6x_{3}-6=0[/mm]
> Ich hab die Beispielaufgabe aus dem Lehrbuch und weiß auch
> die Lösungen z.B.:
>
> [mm]s_{3}= \vektor{3 \\ 0 \\ 0} + \lambda \vektor{3 \\ -2 \\ 0}[/mm]
> ist die Spurgerade von H in der [mm]x_{1}x_{2}[/mm]-Ebene
Um eine Gerade zu bestimmen, brauchen wir zwei Punkte. Wir wollen die Spurgerade der [mm] $x_1,x_2$-Ebene, [/mm] also brauchen wir zwei Punkte aus dieser Ebene, die auf der Ebene H liegen.
Der Einfachheit halber suchen wir die Punkte, wo H die Koordinatenachsen schneidet, d.h. [mm] $a:=\vektor{x \\ 0 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $b:=\vektor{0 \\ y \\ 0}$. [/mm]
1. Punkt eingesetzt in die Gleichung von H:
$2*x+3*0+6*0-6=0\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] x=3$
2.:
$2*0+3*y+6*0-6=0\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] y=2$
Damit haben wir zwei Schnittpunkte von H mit der [mm] $x_1,x_2$-Ebene. [/mm] Jetzt nehmen wir den ersten Punkt als Aufhänger und den Vektor zwischen den beiden als Richtungsvektor:
[mm] $\vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \left(\vektor{3 \\ 0 \\ 0} - \vektor{0 \\ 2 \\ 0}\right)$
[/mm]
Meine Fragen =)
1. Warum können wir als Richtungsvektor den Vektor von b nach a nehmen, obwohl a der Aufhänger ist (billige Frage)?
2. Was passiert, wenn H eine oder beide Koordinatenachsen nicht schneidet?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mi 30.04.2008 | | Autor: | ONeil |
Hi,
Danke für deine schnelle und gute Erklärung!
Zu deinen Fragen ;):
> 1. Warum können wir als Richtungsvektor den Vektor von b nach a nehmen, obwohl a der Aufhänger ist (billige Frage)?
Weil der Richtungsvektor von a nach b Teil der Spurgerade ist.
> 2. Was passiert, wenn H eine oder beide Koordinatenachsen nicht schneidet?
Wenn H eine Koordinatenachse nicht schneidet, dann ist sie parallel zu der jeweiligen Koordinatenachse, wenn sie zwei Koordinatenachsen nicht schneidet ist sie parallel zu der jeweilgen Koordinatenebene.
Eine weiter Frage hätte ich aber auch noch:
Wäre $ [mm] s_{3}= \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-3 \\ 2 \\ 0} [/mm] $
Auche eine mögliche Lösung? Ich denke schon, weil es wurde ja nur der andere Aufhängepunkt genommen und das Vorzeichen der Richtungsvektor geändert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeil!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig so ... !!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Blech |
> > 2. Was passiert, wenn H eine oder beide Koordinatenachsen
> nicht schneidet?
> Wenn H eine Koordinatenachse nicht schneidet, dann ist sie
> parallel zu der jeweiligen Koordinatenachse, wenn sie zwei
> Koordinatenachsen nicht schneidet ist sie parallel zu der
> jeweilgen Koordinatenebene.
Richtig, im ersten Fall, falls H z.B. die Gerade [mm] $\lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] nicht schneidet, wäre dann Spurgerade:
[mm] $\vektor{x \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
d.h. wir nehmen unseren einen Schnittpunkt und der Richtungsvektor ist einfach der andere Einheitsvektor, weil die Spurgerade ja parallel zu dem liegen muß.
Darauf wollte ich hinaus. Alles von Dir war natürlich auch richtig. =)
ciao
Stefan
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