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| Aufgabe | | Es sei [mm] \mu :V\toV [/mm] ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Nach Wahl einer Basis [mm] B\subsetV [/mm] definieren wir die Spur von [mm] \mu [/mm] als Spur der Abbildungsmatrix: [mm] tr(\mu):=tr(M_{BB}(\mu)). [/mm] Zeigen sie, dass es eine lineare Abbildung tr: [mm] End(V)\toK [/mm] gibt. (Bereits bewiesen: Spur ist wohldefiniert) |
ich habe dafür überhaupt keinen ansatz, aber vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. den teil in klammern habe ich bereits gemacht, aber weiter komme ich nicht.
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> Es sei [mm]\mu :V\toV[/mm] ein Endomorphismus des
> endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Nach Wahl einer
> Basis [mm]B\subsetV[/mm] definieren wir die Spur von [mm]\mu[/mm] als Spur
> der Abbildungsmatrix: [mm]tr(\mu):=tr(M_{BB}(\mu)).[/mm] Zeigen sie,
> dass es eine lineare Abbildung tr: [mm]End(V)\toK[/mm] gibt.
> (Bereits bewiesen: Spur ist wohldefiniert)
> ich habe dafür überhaupt keinen ansatz, aber vielleicht
> kann mir da jemand weiterhelfen. den teil in klammern habe
> ich bereits gemacht, aber weiter komme ich nicht.
Hallo,
der Vektorraum hat eine Basis B, und bzgl dieser Basis kann man jedem Endomorphismus von V eindeutig seine darstellende Matrix zuordnen, von welcher man nun die Spur bestimmen kann.
Die Abbildungseigenschaft steht also außer Frage.
Zu zeigen bleibt die Linearitat der Spurabbildung. Um diese zu zeigen, wirst Du auf die Definition/eine Eigenschaft der Spur zurückgreifen: die Spur ist ja die Summe der Diagonalelemente.
Gruß v. Angela
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