Spur und Determinante < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 22.11.2007 | | Autor: | Steini |
Hallo,
ich muss zeigen, dass für verschiedene Basen die charakteristische Gleichung bleibt.
Dies ist ja auch kein Problem, wenn: sp(AB)=sp(A)sp(B) und det(AB)=det(A)det(B) gilt.
Ist das denn richtig oder nicht? Und warum ist das richtig?
Stefan
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Guten Tag. Das Sp(AB)=Sp(A)*Sp(B) ist stimmt nicht es gilt nur Spur(AB)=Spur(BA). Der Determinatenhauptsatz det(AB)=det(A)*det(B) stimmt
So also nehmen wir eine Matrix [mm] A'=T^{-1}*A*T. [/mm] A und A' sind ähnlich zueinander
So das Charakterisische Polynom von A=det(x*E-A). Dann ist [mm] A=T*A'*T^{-1}
[/mm]
Also charpol [mm] A=\det(x*E-A)=\det(x*E-T*A'*T^{-1})=\det(T(x*E-A')T^{-1}) [/mm] (Warum kann man das T ausklammern???) Dann den Determinatnen Hauptsatz anwenden und du bekommst das gewünschte ergebnis.
Einen schönen Tag noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 22.11.2007 | | Autor: | Steini |
Danke, aber könntest du, oder jemand anders noch einmal erklären, warum das für Determinanten gilt?
Für Spuren habe ich das gerade nachvollzogen. Aber bei Determinanten passt das bei mir nicht.
Warum ist det(AB)=det(A)det(B) bzw. det(AB)=det(BA)?
Stefan
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So los gehts: Achtung beweis des Determinatenhauptsatzes!
Wir müssen zwei fälle unterscheiden
1 Fall: A ist nicht invertierbar d.h [mm] \det(A) [/mm] = 0. Wir müssen jetzt zeigen das A*B dann auch nicht invertierbar. Angenommen AB wäre invertierbar dann gibt es also eine Matrix C mit (A*B)*C= C*(A*B) =E.
Wenn das gilt dann wäre aber auch A invertierbar, denn AB invertierbar dann ist A*B ein Produkt von Elementarmatrizen und die sind Invertierbar. ALso ist auch A ein Produkt von Elementarmatrizen also invertierbar. Widerspruch ALso ist AB nicht invertierbar für nichtinvertierbare Matrizen gilt die Aussage. [mm] 0=\det(A*B)=\det(A)*\det(B)=0*\det(B)=0.
[/mm]
2 Fall. Sei A invertierbar. Dann ist A ein Produkt von Elementarmatrizen(Beweis: A ist invertierbar und lässt sich mit elemetaren Zeilentransformationen auf Treppennormalform bringen. Aber A hat vollen Rang, also ist die Treppennormalform die Einheitsmatrix. Jede Zeilentransformation lässt sich als Multiplikation mit einer Elementarmatrix auffassen. Also ist [mm] X_{1}*..............*X_{n}A=E. [/mm] Also ist [mm] A=(X_{1}*.............*X_{n})^{-1} [/mm] also ein Produkt aus Elementarmatrizen.
So jetzt machen wir induktion über die Anzahl der Elementarmatrizen
IA A ist eine Elementarmatrix. Dann ist behauptung trivial. Denn [mm] \det(A*B)=\det (X_{0}) [/mm] *det(B). Die Determinante von [mm] (X_{0}) [/mm] ist [mm] \pm [/mm] 1.
So Induktionsschritt
Sei [mm] A=X_{n}*A_{0}. [/mm] Dann ist [mm] \det(A*B) [/mm] = [mm] \det(X_{n}*A_{0}*B)=\det(X_{n})*\det(A_{0}*B_{0}), [/mm] Hier verwenden wir den fall n=1. Dann ist das = [mm] \det(X_{n})*\det(A_{0})*\det(B) [/mm] (Induktionsvoraussetzung) = [mm] \det(X_{n}*A_{0})*\det(B)=\det(A)*\det(B) [/mm]
Einen schönen Tag wenn fragen immer fragen
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