Spur orthogonale Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A eine orthogonale Matirx in [mm] M_{nn}(R). [/mm] Beweisen Sie das gilt: | Spur(A) | [mm] \le [/mm] n. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe diese Aufgabe gefunden und finde nicht so recht einen Ansatz zur Lösung. Gegeben ist ja, dass A eine orthogonale Matirx ist. Dann A ist kongruent zu einer orthogonalen Normalform der Form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & .. & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .. & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & .. & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_{r} }
[/mm]
dabei ist [mm] A_{i} [/mm] = [mm] \pmat{ cost & -sint \\ sint & cost }
[/mm]
Dann müsste die Spur doch folgendermassen aussehen
Spur(A) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm] = 1 + .. + 1 + (-1) + ... + (-1) + cost + ... + cost
= [mm] \summe_{i=1}^{j} [/mm] 1 + [mm] \summe_{j = i }^{x} [/mm] -1 + [mm] \summe_{x=j}^{n} [/mm] cost
Aber wie bekomme ich jetzt das n rein. Vielleicht habt Ihr ja einen Tipp bzw. einen besseren Lösungsansatz.
Grüße Steffen
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Hallo Steffen,
du bist doch schon fast fertig. es gilt ja:
[mm] $\left|\summe_{i=1}^n a_{ii}\right| \le \summe_{i=1}^n |a_{ii}|$
[/mm]
du hast selbst schon argumentiert, dass für die transformierte matrix [mm] gilt:$|a_{ii}|\le [/mm] 1$. Also...
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 13.06.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Mathias,
ich muss gestehen das ich diese Umformung nicht kannte. Danke für die Hilfe, jetzt ist es klar.
Grüße Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Di 13.06.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
das ist einfach die dreiecks-ungleichung.
Gruß
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