Spur einer C1-Kurve < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Eckbert |
| Aufgabe | | Die Spur einer [mm] C^{1} [/mm] - Kurve [mm] \gamma [/mm] : [mm] [a,b]\to\IR^{2} [/mm] , a,b [mm] \in \IR [/mm] a < b, überdeckt kein echtes Rechteck. |
Guten Tag,
Ich verstehe die Aufgabe leider noch nicht richtig. Soweit ich das verstehe besteht die Funktion daraus, dass einmal-differenzierbare Komponentenfunktionen das Intervall [a,b] nach [mm] \IR^{2} [/mm] abbilden. Aber können denn z.B. [mm] C^{2} [/mm] - Kurven ein Rechteck überdecken? Ich weiß nicht genau, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen Gruß
Eckbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du sollst zeigen, dass es keinen stetig differenzierbaren Weg gibt, der genau ein Rechteck überstreicht.
Wenn es keinen C1-Weg gibt gibts auch keinen C2-Weg usw., da jeder C2-Weg auch ein C1-Weg ist. Aber es gibt Wege, die das tun.
Sogenannte Peano-Kurven, also stetige Surjektionen, bilden das Intervall [0,1] auf ein Rechteck ab.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Eckbert |
Kann man denn allgemein eine Funktion angeben, die ein Rechteck überdeckt? Dann muss ja zu folgern sein, dass deren Komponentenfunktionen nicht differenzierbar sind. Oder zeige ich, dass eine differenzierbare Kurve kein Rechteck überdecken kann direkt?
Ich habe leider immer noch nicht eine Ahnung, wie ich das anstellen kann. Gibt es Sätze oder Definitionen, die ich mir noch einmal besonders ansehen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Damit du nen Eindruck von ner stetigen (aber nicht differenzierbaren) Kurve hast geh in wikipedia Hilbertkurve. Die hat aber keine endliche Kurvenlänge.
eine C1 Kurve c(t), die stetig differenzierbar ist hat eine endliche Länge; wegen C! ist |c| beschränkt, du kanst also die Kurvenlänge abschätzen. dann einen beliebig schmalen [mm] \varepsilonstreifen [/mm] um die Kurve, hat beliebig kleinen flächeninhalt, also kann die Kurve kein Rechteck mit irgendeinem von 0 verschiedenen Flächeninhalt überdecken.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 17.05.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo!
Dazu habe ich mal eine Frage. Mir stellt sich nämlich genau die selbe Aufgabe.
Leider hatte ich bis eben die Aufgabe falsch verstanden.
Ist mit der Aufgabenstellung gemeint, dass die Kurve an sich bereits ein Rechteck ausfüllt? Das ist bei Kurven wie Hilbert und Peano ja alleine durch die unendliche Kurvenlänge gegeben.
Bei einer C1 Kurve, deren Bogenlänge dann ja eindimensional ist, kann also allein durch die Kurve keine Fläche entstehen, oder?
Ich hatte die Aufgabe bisher so verstanden, dass die Kurve keine Fläche überstreicht. Das täte sie ja aber, da man ja bei jeder integrierbaren Kurve eine eingeschlossene Fläche berechnen kann.
Grüße Kari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 17.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Ist mit der Aufgabenstellung gemeint, dass die Kurve an
> sich bereits ein Rechteck ausfüllt?
Nein, man soll ziegen das es eben nicht geht.
> Das ist bei Kurven wie
> Hilbert und Peano ja alleine durch die unendliche
> Kurvenlänge gegeben.
Nein, das ist notwendig und nicht hinreichend.
> Bei einer C1 Kurve, deren Bogenlänge dann ja eindimensional
> ist, kann also allein durch die Kurve keine Fläche
> entstehen, oder?
Ähem, ja so ungefähr sollte man sih das vorstellen.
> Ich hatte die Aufgabe bisher so verstanden, dass die Kurve
> keine Fläche überstreicht. Das täte sie ja aber, da man ja
> bei jeder integrierbaren Kurve eine eingeschlossene Fläche
> berechnen kann.
Häh? Eingeschlossene Fläche ist hier nicht gefragt oder relevant, sondern nur das, was die Kurve wirklich ausfüllt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Do 17.05.2007 | | Autor: | Kari |
> > Ist mit der Aufgabenstellung gemeint, dass die Kurve an
> > sich bereits ein Rechteck ausfüllt?
>
> Nein, man soll ziegen das es eben nicht geht.
Äh ja, sorry. Da habe ich mich missverständlich ausgedrückt.
> > Bei einer C1 Kurve, deren Bogenlänge dann ja eindimensional
> > ist, kann also allein durch die Kurve keine Fläche
> > entstehen, oder?
>
> Ähem, ja so ungefähr sollte man sih das vorstellen.
>
Das ist schon mal gut zu wissen. Danke ;)
> > Ich hatte die Aufgabe bisher so verstanden, dass die Kurve
> > keine Fläche überstreicht. Das täte sie ja aber, da man ja
> > bei jeder integrierbaren Kurve eine eingeschlossene Fläche
> > berechnen kann.
>
> Häh? Eingeschlossene Fläche ist hier nicht gefragt oder
> relevant, sondern nur das, was die Kurve wirklich
> ausfüllt.
>
Gut, dann habe ich jetzt zumindest schon mal die Aufgabenstellung verstanden *gg*
Dann versuche ich mich mal daran, das, was ich mir dazu denke, in mathematisch korrekte Formulierungen zu quetschen. Danke schon mal für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 19.05.2007 | | Autor: | monc314 |
*g*
Na dann werden wir uns ja schon einen Beweis zusammen basteln, den MÜLICH auch akzeptieren wird.
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