Spur < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | [mm] V=M(n\times [/mm] n,K). [mm] C\in [/mm] V. Die Abbildung [mm] f:V\rightarrow [/mm] V ist definiert durch:
f(A)=CA, wobei [mm] A\in [/mm] V. Zu zeigen: f ist linear und es gilt:
[mm] spur(f)=n\cdot [/mm] spur(C). |
Hallo,
also das mit der Linearitär ist klar. Was die Spur ist, weiß ich auch, nämlich die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen. Ich finde allerdings keinen Ansatz, wie ich das zeigen soll und je länger ich danach suche, desto verzweifelter werde ich.
Kann mir dabei jemand helfen?
|
|
| |
|
> [mm]V=M(n\times[/mm] n,K). [mm]C\in[/mm] V. Die Abbildung [mm]f:V\rightarrow[/mm] V
> ist definiert durch:
> f(A)=CA, wobei [mm]A\in[/mm] V. Zu zeigen: f ist linear und es
> gilt:
> [mm]spur(f)=n\cdot[/mm] spur(C).
> Hallo,
>
> also das mit der Linearitär ist klar. Was die Spur ist,
> weiß ich auch, nämlich die Summe der Einträge auf der
> Hauptdiagonalen.
Hallo,
Du beschreibst gerade, was die Spur einer Matrix ist.
Gesucht wird nun die Spur von f, also die Spur eines Endomorphismus.
Was ist das? Die Spur seiner darstellenden Matrix.
Und damit steht der Plan: Du brauchst die darstellende Matrix des Endomorphismus f.
Hierfür brauchst Du zuerst eine Basis von V, und danach berechne die Bilder der Basisvektoren und stell sie als Linearkombination der Basisvektoren da.
Dies liefert die Splaten Deiner Matrix.
Bevor Du loslegst, überlege Dir noch, welches Format die darstellende Matrix haben wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 24.05.2009 | | Autor: | Unk |
> Bevor Du loslegst, überlege Dir noch, welches Format die
> darstellende Matrix haben wird.
>
> Gruß v. Angela
Die Dimension des Raumes V ist doch [mm] n\cdot n=n^2 [/mm] nicht wahr? Das bedeutet dann doch, dass ich [mm] n^2 [/mm] Basisvektoren brauche, was für die Darstellungsmatrix bedutet, sie hat die Form [mm] n^2\times n^2. [/mm] Sage ich jetzt einfach mal so. Wenn es falsch ist, korrigier mich bitte.
Welche Form hat nun die Basis von V? Sie können ja nicht so aussehen: { [mm] \pmat{1\\0\\...\\ 0},...,\pmat{0\\...\\1} [/mm] } oder? Also die Frage ist, welche Form hat meine Basis???
Wenn ich das dann habe und ich das mal allgemein formuliere mit [mm] {v_1,v_2,...,v_n} [/mm] [Das ist jetzt unabhängig von meiner Aufgabe, da ich hier ja nur n-Basisvektoren habe und nicht [mm] n^2], [/mm] dann gilt:
[mm] f(v_1)=Cv_1 [/mm] und dann entsprechende Linearkombination der Basisvektoren.
Aber ich weiß doch nichts über C. Wie soll ich das dann als Linearkombination darstellen? Bzw. Wie berechne ich spur(C)?
Gruß Unk
|
|
|
| |
|
> > Bevor Du loslegst, überlege Dir noch, welches Format die
> > darstellende Matrix haben wird.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Die Dimension des Raumes V ist doch [mm]n\cdot n=n^2[/mm] nicht
> wahr?
Hallo,
ja, so ist es. Hast Du die kanonische Basis dieses Raumes auf Lager?
Da der Raum aus Matrizen besteht, besteht seine Basis natürlich auch aus Matrizen.
> Das bedeutet dann doch, dass ich [mm]n^2[/mm] Basisvektoren
> brauche, was für die Darstellungsmatrix bedutet, sie hat
> die Form [mm]n^2\times n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja. Ziemlich groß ist das.
> Sage ich jetzt einfach mal so. Wenn
> es falsch ist, korrigier mich bitte.
Da wäre ich nicht zimperlich, aber es stimmt.
>
> Welche Form hat nun die Basis von V? Sie können ja nicht so
> aussehen: { [mm]\pmat{1\\0\\...\\ 0},...,\pmat{0\\...\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> oder? Also die Frage ist, welche Form hat meine Basis???
S.o.: die basis besteht selbstverständlich aus Matrizen.
Die kanonische Basis aus solchen mit sehr vielen Nullen.
>
> Wenn ich das dann habe und ich das mal allgemein
> formuliere mit [mm]{v_1,v_2,...,v_n}[/mm] [Das ist jetzt unabhängig
> von meiner Aufgabe, da ich hier ja nur n-Basisvektoren habe
> und nicht [mm]n^2],[/mm] dann gilt:
> [mm]f(v_1)=Cv_1[/mm] und dann entsprechende Linearkombination der
> Basisvektoren.
Ja.
> Aber ich weiß doch nichts über C.
Nur, daß es eine nxn-Matrix ist, also [mm] C=(c_i_k) [/mm] mit i,k=1,2,...,n.
Ich glaube, daß Dir ein Detail fehlt, die Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis.
Du brauchst erstmal diese Basis, und danach schreibst Du dann für jede "Basismatrix" die Matrix C*Basismatrix als Koordinatenvektor bzgl der Basis.
>Wie soll ich das dann
> als Linearkombination darstellen? Bzw. Wie berechne ich
> spur(C)?
Spur C ist doch kein Geheimnis: Spur( [mm] C)=c_1_1+ c_2_2+ ...+c_n_n
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Gruß Unk
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 So 24.05.2009 | | Autor: | Unk |
> ja, so ist es. Hast Du die kanonische Basis dieses Raumes
> auf Lager?
>
Die kan. Basis müsste doch aus [mm] n\times [/mm] n Matrizen bestehen, die an der i,j-ten Stelle [mm] (1\leq i,j\leq [/mm] n) eine Eins haben und sonst nur nullen, also :
[mm] \left\{ b_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\
0 & & & \vdots\\
\vdots\\
0 & ... & & 0\end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 & ... & 0\\
0 & & & \vdots\\
\\0 & ... & & 0\end{pmatrix},...,b_{n+1}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0... & 0\\
1 & & & \vdots\\
\\0 & ... & & 0\end{pmatrix},...,b_{n^{2}}=\begin{pmatrix}0 & ... & & 0\\
\vdots & & & \vdots\\
\\0 & ... & 0 & 1\end{pmatrix}\right\} [/mm] . Sofern das stimmt, folgt dann:
[mm] f(b_{1})=Cb_{1}=\begin{pmatrix}c_{11} & 0 & ... & 0\\
c_{21} & 0 & ... & 0\\
& \vdots\\
c_{n1} & 0 & ... & 0\end{pmatrix}=c_{11}\cdot b_{1}+0\cdot b_{2}+...+c_{21}\cdot b_{n+1}+0b_{n+2}+...+c_{31}\cdot b_{2n+1}+...+c_{n1}\cdot b_{(n-1)n+1} [/mm] usw. für die anderen b's, ist ziemlich schlecht aufschreibbar wegen des [mm] n^{2}
[/mm]
Was folgt ist die Darstellungsmatrix: Die ich hier schlecht niederschreiben kann wegen des [mm] n^2. [/mm] Aber ich weiß schon wie man es machen muss. Betrachte ich davon die Hauptdiagonale, dann sind die ersten n Einträge [mm] c_{11}, [/mm] die nachfolgenden n+1 bis 2n Einträge (also wieder genau n stück) sind [mm] c_{22} [/mm] usw.
Vielleicht kannst du das darstellen, ansonsten ist es auch egal; ich weiß ja wie es geht.
Ist soweit alles richtig?
|
|
|
| |
|
> Vielleicht kannst du das darstellen, ansonsten ist es auch
> egal; ich weiß ja wie es geht.
>
> Ist soweit alles richtig?
Hallo,
es klingt alles so, als hättest Du es jetzt gut verstanden.
Ich denke, das Aufschreiben können wir uns hier ersparen, zu Papier bringt es sich bequemer.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
