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| Aufgabe | Auf dem Intervall [-1,1] sei die Referenz [mm] \{(x_i, y_i)\}_{i=0,1,2}=\{(-1,0), (0,2), (1,4)\} [/mm] gegeben.
(a) Stellen Sie die Knoten in einer Grafik dar und skizzieren Sie dazu den kubischen Spline mit natürlichen Randbedingungen. Wie lautet die Spline Funktionen durch die drei Knoten (hier keine großer Rechenaufwand)?
(b) Untersuchen welche Eigenschaften die Funktion [mm] f:[-1,1]->\mathbb{R}
[/mm]
[mm] f(x):=\begin{cases} (x+1)+(x+1)^3, & \mbox{für } x\in \mbox{[-1,0]} \\ 4+(x-1)+(x-1)^3, & \mbox{für } x \in \mbox{[0,1]} \end{cases}
[/mm]
mit einem kubischen Splines bezüglich der oben gegebenen Referenz gemeinsam hat. |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe aus dem Bereich der Spline-Interpolation, die mir ein wenig Probleme bereitet.
Zu
(a) Ich habe die Punkte in ein Koordinatensystem gezeichnet, die Punkte verbunden und kam auf die Funktion P(x)=2x+2
(b)
Hier habe ich zuerst die natürlichen Randbedingungen der Funktion f(x) überprüft mit P''(a)=0 und P''(b)=0.
[mm] f'(x)=1+3(x+1)^2 [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,0]
$f''(x) = 6(x+1)$ x [mm] \in [/mm] [-1,0]
[mm] f'(x)=1+3(x-1)^2 [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
$f''(x)=6(x-1)$ x [mm] \in [/mm] [0,1]
$f''(-1)=6(-1+1)=0$
$f''(1)=6(1-1)=0$
Die natürlichen Randbedinungen sind also offensichtlich erfüllt.
Bei den vollständigen Randbedingungen brauche ich jedoch eine vorgegebene Steigung der Splinefunktion an den Randpunkten, wie bekomme ich diese?
Welche weiteren Randbedingungen müsste ich bei dieser Aufgabe überprüfen?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mo 27.07.2015 | | Autor: | meili |
Hallo mtr-studi,
> Auf dem Intervall [-1,1] sei die Referenz [mm]\{(x_i, y_i)\}_{i=0,1,2}=\{(-1,0), (0,2), (1,4)\}[/mm]
> gegeben.
>
> (a) Stellen Sie die Knoten in einer Grafik dar und
> skizzieren Sie dazu den kubischen Spline mit natürlichen
> Randbedingungen. Wie lautet die Spline Funktionen durch die
> drei Knoten (hier keine großer Rechenaufwand)?
>
> (b) Untersuchen welche Eigenschaften die Funktion
> [mm]f:[-1,1]->\mathbb{R}[/mm]
> [mm]f(x):=\begin{cases} (x+1)+(x+1)^3, & \mbox{für } x\in \mbox{[-1,0]} \\ 4+(x-1)+(x-1)^3, & \mbox{für } x \in \mbox{[0,1]} \end{cases}[/mm]
>
> mit einem kubischen Splines bezüglich der oben gegebenen
> Referenz gemeinsam hat.
> Hallo,
> ich habe eine Aufgabe aus dem Bereich der
> Spline-Interpolation, die mir ein wenig Probleme bereitet.
>
> Zu
> (a) Ich habe die Punkte in ein Koordinatensystem
> gezeichnet, die Punkte verbunden und kam auf die Funktion
> P(x)=2x+2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (b)
> Hier habe ich zuerst die natürlichen Randbedingungen der
> Funktion f(x) überprüft mit P''(a)=0 und P''(b)=0.
>
> [mm]f'(x)=1+3(x+1)^2[/mm] x [mm]\in[/mm] [-1,0]
> [mm]f''(x) = 6(x+1)[/mm] x [mm]\in[/mm] [-1,0]
>
> [mm]f'(x)=1+3(x-1)^2[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]
> [mm]f''(x)=6(x-1)[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> [mm]f''(-1)=6(-1+1)=0[/mm]
> [mm]f''(1)=6(1-1)=0[/mm]
>
> Die natürlichen Randbedinungen sind also offensichtlich
> erfüllt.
>
> Bei den vollständigen Randbedingungen brauche ich jedoch
> eine vorgegebene Steigung der Splinefunktion an den
> Randpunkten, wie bekomme ich diese?
Vermutlich solltest du nur einen Spline mit natürlicher Randbedingung
betrachten, bei anderen Bedingungen müssten Werte vorgegeben werden.
>
> Welche weiteren Randbedingungen müsste ich bei dieser
> Aufgabe überprüfen?
Zu prüfen ist noch, ob f durch die vorgegeben Punkte (-1,0), (0,2) und (1,4)
geht. Und ob f die Bedingungen für kubische Splines [mm] $s_1'(0) [/mm] = [mm] s_2'(0)$
[/mm]
und [mm] $s_1''(0) [/mm] = [mm] s_2''(0)$ [/mm] erfüllt.
Vergl. ![[]](/images/popup.gif) Spline-Interpolation.
Wenn man das dort angegebene Gleichungssystem für die obige Aufgabe
löst, kommt man auf [mm] $s_1(x) [/mm] = [mm] s_2(x) [/mm] = 2x + 2$.
>
>
> Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
Gruß
meili
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Hallo meili,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich weiß jetzt leider nicht so genau, wie ich das Gleichungssystem aufstellen müsste. Müsste ich jetzt erstmal für die gegebene Referenz die Polynome in der Form [mm] s_j(x) [/mm] = [mm] a_j [/mm] + [mm] b_j \cdot [/mm] (x - [mm] x_j) [/mm] + [mm] c_j \cdot (x-x_j)^2 [/mm] + [mm] d_j \cdot (x-x_j)^3 [/mm] für [mm] x_{j-1}\leq x\leq x_j [/mm] und [mm] j=1,\ldots,n [/mm] aufschreiben und versuchen dann das Gleichungssystem daraus zu lösen?
Momentan kann ich mir schlecht vorstellen wie das Gleichungssystem aussehen würde.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 27.07.2015 | | Autor: | meili |
Hallo mtr-studi,
> Hallo meili,
> vielen Dank für deine Hilfe.
>
Für die Aufgabe ist es nicht notwendig, aber zur Übung vielleicht nicht schlecht.
> Ich weiß jetzt leider nicht so genau, wie ich das
> Gleichungssystem aufstellen müsste. Müsste ich jetzt
> erstmal für die gegebene Referenz die Polynome in der
> Form [mm]s_j(x)[/mm] = [mm]a_j[/mm] + [mm]b_j \cdot[/mm] (x - [mm]x_j)[/mm] + [mm]c_j \cdot (x-x_j)^2[/mm]
> + [mm]d_j \cdot (x-x_j)^3[/mm] für [mm]x_{j-1}\leq x\leq x_j[/mm] und
> [mm]j=1,\ldots,n[/mm] aufschreiben und versuchen dann das
> Gleichungssystem daraus zu lösen?
Ja.
>
> Momentan kann ich mir schlecht vorstellen wie das
> Gleichungssystem aussehen würde.
Da die Referenz aus 3 Punkten besteht, ist [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] zu bestimmen.
Also [mm] $a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2$ [/mm] und [mm] $d_2$
[/mm]
aus der obigen Form von [mm] $s_j$.
[/mm]
Mit
[mm] $s_1(x_0) [/mm] = [mm] y_0$
[/mm]
[mm] $s_1(x_1) [/mm] = [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $s_2(x_1) [/mm] = [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $s_2(x_2) [/mm] = [mm] y_2$
[/mm]
[mm] $s_1'(x_1) [/mm] = [mm] s_2'(x_1)$
[/mm]
[mm] $s_1''(x_1) [/mm] = [mm] s_2''(x_1)$
[/mm]
[mm] $s_1''(x_0) [/mm] = 0$
[mm] $s_2''(x_2) [/mm] = 0$
hat man genügend lineare Gleichungen für die Anzahl der Variablen.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
meili
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