Spielsystem - Folge von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Definition: Ein Spielsystem ist eine Folge V = [mm] (V_k)_{k=1,..,N} [/mm] von Zufallsvariablen [mm] V_k [/mm] : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] derart dass [mm] V_1 [/mm] = const. und für k=2,..,N existieren Funktionen [mm] \phi_k [/mm] : [mm] \{-1, +1\}^{k-1} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
[mm] V_k (\omega) [/mm] = [mm] \phi_k (X_1(\omega),..,X_{k-1}(\omega)).
[/mm]
Offensichtlich gilt für jedes Spielsystem
[mm] \{ V_k = c\} \in A_{k-1} [/mm] ( c [mm] \in \IR, [/mm] k=1,..,N) (*)
Umgekehrt folgt aus (*) , dass V ein SPielsystem ist. |
Hallo zusammen.
[mm] \{ V_k = c \} \in A_{k-1} [/mm]
bedeutet doch dass die Zufallsvaribale [mm] V_k [/mm] abhängig ist von den bis zum Zeitpunkt k-1 beobachtbaren Ereignisse oder?
Die Bemerkung besagt, dass aus [mm] \{ V_k = c \} \in A_{k-1} [/mm] schon folgt, dass V ein Spielsystem ist.
[mm] \{ V_k = c \}\in A_{k-1} [/mm]
[mm] \{ V_k = c \}ist [/mm] also eine Funktion von [mm] (X_1 (\omega) [/mm] ,.., [mm] X_{k-1} (\omega)) [/mm] nach Definition von [mm] A_{k-1} [/mm]
Ich verstehe das noch nicht so ganz.
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Hiho,
du hast zwar nicht geschrieben, was die [mm] X_k [/mm] sein sollen, aber ich vermute mal, das sind iid [mm] ${-1,1}-\bruch{1}{2}$-verteilte [/mm] ZV.
> [mm]\{ V_k = c \} \in A_{k-1}[/mm] bedeutet doch dass die Zufallsvaribale [mm]V_k[/mm] abhängig ist von den bis zum Zeitpunkt k-1 beobachtbaren Ereignisse oder?
Was verstehst du unter "abhängig"? Insbesondere liegen alle möglichen (meßbaren) Ereignisse von [mm] V_k [/mm] bereits in [mm] $A_{k-1}$, [/mm] oder in Worten formuliert: "Alle Ausgänge von [mm] V_k [/mm] sind bereits zum Zeitpunkt k-1 bekannt."
> Die Bemerkung besagt, dass aus [mm]\{ V_k = c \} \in A_{k-1}[/mm] schon folgt, dass V ein Spielsystem ist.
Das gilt nur, falls die [mm] A_k [/mm] definiert sind als [mm] $A_k [/mm] = [mm] \sigma\left(X_i, i\in\{1,\ldots,k\}\right)$, [/mm] d.h. die von den [mm] $X_1,\ldots,X_k$ [/mm] erzeugten Sigma-Algebra.
Ist das der Fall?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 31.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Grundraum $ [mm] \Omega [/mm] $ = $ [mm] \{ \omega =(\omega_1 ,.., \omega_N): \omega_i \in \{+1,-1\}, i=1,..,N\} [/mm] $
P-Gleichverteilung
Zuvallsvaribalen $ [mm] X_i(\omega)= \omega_i [/mm] $ ,i=1,..,N
Also gibt die Zufallsvariable den Schritt in dem Zeitpunkt i an.
> > Die Bemerkung besagt, dass aus $ [mm] \{ V_k = c \} \in A_{k-1} [/mm] $ schon folgt, dass V ein Spielsystem ist.
> Das gilt nur, falls die $ [mm] A_k [/mm] $ definiert sind als $ [mm] A_k [/mm] = [mm] \sigma\left(X_i, i\in\{1,\ldots,k\}\right) [/mm] $, d.h. die von den $ [mm] X_1,\ldots,X_k [/mm] $ erzeugten Sigma-Algebra.
> Ist das der Fall?
Ich kann der Schreibweise leider nicht folgen. Es kam bei uns nur die Eigenschaft der Sigma-Additivität vor. Das andere ist mir kein begriff.
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Hiho,
> Grundraum [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{ \omega =(\omega_1 ,.., \omega_N): \omega_i \in \{+1,-1\}, i=1,..,N\}[/mm]
> P-Gleichverteilung
> Zuvallsvaribalen [mm]X_i(\omega)= \omega_i[/mm] ,i=1,..,N
> Also gibt die Zufallsvariable den Schritt in dem Zeitpunkt i an.
Ja, bis hierhin ist ja alles klar.
> Ich kann der Schreibweise leider nicht folgen. Es kam bei uns nur die Eigenschaft der Sigma-Additivität vor. Das andere ist mir kein begriff.
Wer spricht hier von [mm] $\sigma$-Additivität?
[/mm]
Wie sind bei euch denn die [mm] A_k [/mm] definiert? Mach dir das erstmal klar.
Dann mach dir klar, dass wenn Sigma-Algebra über eine erzeugende Menge definiert ist, jede Funktion die meßbar bezüglich deiner so erzeugten Sigma-Algebra ist, sich als meßbare Funktion vom Erzeuger darstellen lässt.
Gruß,
Gono.
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