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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 So 04.05.2008 | | Autor: | Sh4m |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie folgendermaßen beschriebene Abbildung: z [mm] \in \IR^{2} [/mm] wird an der durch w [mm] \in \IR^{2} [/mm] verlaufenden Geraden gespiegelt, die mit der durch w verlaufenden Parallelen zur x -Achse den Winkel b [mm] \in [0,\pi[ [/mm] einnimmt. (Der Winkel ist ausgehend von der Parallelen gegen den Uhrzeigersinn zu nehmen.) Arbeiten Sie mit komplexen Zahlen. |
Hallo allerseits!
Mein Hauptproblem bei dieser Aufgabe ist vor allem die Vereinbarkeit der gegebenen reellen Zahlen mit der Aufforderung mit komplexen Zahlen zu arbeiten.
Im komplexen hätte ich mir überlegt, dass die Gerade durch w durch folgende Gleichung beschrieben werden könnte:
[mm]g(x):= w + x * e^{(i*b)}[/mm]
Um die Spiegelung jetzt durchzuführen müsse man die Gerade ja so verschieben, dass sie durch den Nullpunkt geht:
[mm]z \mapsto z - w[/mm]
Danach drehen um den Winkel -b, so dass der Graph der Geraden mit der x-Achse zusammenfällt:
[mm]z \mapsto z * e^{(-i*b)}[/mm]
Danach an der x-Achse spiegeln:
[mm]z \mapsto \overline{z}[/mm]
Danach zurück drehen und zurück verschieben:
[mm]z \mapsto z * e^{(i * b)}[/mm]
[mm]z \mapsto z + w[/mm]
Wenn man nun die obigen Abbildungen miteinander verkettet, kommt man zu folgendem Ergebnis:
[mm]z \mapsto \overline{(z - w) * e^{(-i * b)}}*e^{i * b} + w[/mm]
Vereinfacht man das ganze, erhält man:
[mm]z \mapsto (\overline{z} - \overline{w})*e^{(2 * i * b)}} + w[/mm]
Ich hoffe, das ist jetzt wenigstens im Komplexen überhaupt richtig. Jetzt kommt aber die Schwierigkeit, das ganze irgendwie auf reelle Zahlen zu übertragen, die ja bekanntlich keinen Imaginärteil besitzen. Da klappt das mit dem Konjugieren nicht so gut...
Vielleicht geh ich da auch total falsch ran. Hat jemand noch eine andere Idee, wie man an die Aufgabe heran gehen könnte oder wie man meinen Ansatz weiter ausführen könnte?
Vielen Dank schon mal!
Gruß!
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mi 04.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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