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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
| Aufgabe | Gegeben sei die Gerade g1: - 4x + y = 12 im [mm] \IR^2 [/mm] . Wie lautet die Gleichung der
Geraden g2 (in Koordinatenform), die sich ergibt, wenn g1 zunächst am Ursprung
gespiegelt wird und anschließend mit dem Winkel φ=30° im Uhrzeigersinn um
den Punkt PD=(3;2) gedreht wird? Stellen Sie zunächst die Transformationsmatrix
auf! |
Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.
Mein Ansatz war es, zu erst eine Spiegelungsmatrix [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] aufzustellen, dann Verschieben zum Punkt PD mit [mm] \pmat{ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0}. [/mm] Diese fasse ich dann zusammen: [mm] \pmat{ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}. [/mm] Jetzt die Drehmatrix für 30°: [mm] \pmat{ \wurzel{0.75} & -0.5 & 0 \\ 0.5 & \wurzel{0.75} & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Nun müsste ich noch mit [mm] \pmat{ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] zurückverschieben. Aber wie stelle ich die Transformationsmatrix für all diese Schritte auf?
MfG Felix.
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> Gegeben sei die Gerade g1: - 4x + y = 12 im [mm]\IR^2[/mm] . Wie
> lautet die Gleichung der
> Geraden g2 (in Koordinatenform), die sich ergibt, wenn g1
> zunächst am Ursprung
> gespiegelt wird und anschließend mit dem Winkel φ=30°
> im Uhrzeigersinn um
> den Punkt PD=(3;2) gedreht wird? Stellen Sie zunächst die
> Transformationsmatrix
> auf!
> Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.
> Mein Ansatz war es, zu erst eine Spiegelungsmatrix [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \red{0}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\red{0}$ [/mm] müsste $1$ sein.
> aufzustellen, dann Verschieben zum Punkt PD mit [mm]\pmat{ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & \red{0}}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\red{0$ müsste $1$ sein.
> Diese fasse ich dann zusammen: [mm]\pmat{ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & \red{0}}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\red{0$ müsste $1$ sein.
> Jetzt die Drehmatrix für 30°: [mm]\pmat{ \wurzel{0.75} & -0.5 & 0 \\ 0.5 & \wurzel{0.75} & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nun müsste ich noch mit [mm]\pmat{ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & \red{0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\red{0$ müsste $1$ sein.
> zurückverschieben.
Moment: dies scheint mir die falsche Reihenfolge zu sein. Zuerst spiegelst Du am Ursprung mit $T_1$, dann verschiebst Du den Punkt $(3;2)$ in den Ursprung mit $T_2$, dann drehst Du um $30^\circ$ um den Ursprung mit $T_3$ und schliesslich verschiebst Du den Ursprung wieder zurück in den Punkt $(3;2)$ mit $T_4$.
> Aber wie stelle ich die
> Transformationsmatrix für all diese Schritte auf?
Indem Du die Matrizen für die einzelnen Teilabbildungen einfach in der richtigen Reihenfolge miteinander multiplizierst: $T=T_4\circ T_3\circ T_2\circ T_1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Hallo, wenn ich die Multiplikation durchführe, wie du meinst dann kürtzt sich irgendwie alles weg:
Fange ich z.b. mit T4 * T3 an:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1} \* \pmat{ \wurzel{0.75} & -0.5 & 0 \\ 0.5 & \wurzel{0.75} & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Das kann doch nicht stimmen?
(Ich habe das Ergebnis vorliegen, es muss sein: [mm] \pmat{ \wurzel{0.75} & -0.5 & 2-3\wurzel{0.75} \\ 0.5 & -\wurzel{0.75} & 3.5-\wurzel{3} \\ 0 & 0 & 1} [/mm] )
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> Hallo, wenn ich die Multiplikation durchführe, wie du
> meinst dann kürtzt sich irgendwie alles weg:
> Fange ich z.b. mit T4 * T3 an:
> [mm]\pmat{ \red{0} & 0 & -3 \\ 0 & \red{0} & -2 \\ 0 & 0 & 1} \* \pmat{ \wurzel{0.75} & -0.5 & 0 \\ 0.5 & \wurzel{0.75} & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> Das kann
> doch nicht stimmen?
Richtig, das kann nicht stimmen, denn eine Translation um $(-3;-2)$ hat die Matrix
[mm] [center]$\pmat{ \blue{1} & 0 & -3 \\ 0 & \blue{1} & -2 \\ 0 & 0 & 1}$[/center]
[/mm]
>
> (Ich habe das Ergebnis vorliegen, es muss sein: [mm]\pmat{\red{-} \wurzel{0.75} & -0.5 & 2-3\wurzel{0.75} \\ 0.5 & -\wurzel{0.75} & 3.5-\wurzel{3} \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> )
Ja, dies scheint (beinahe) richtig zu sein. Hier die ganze Rechnung mit CAS:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Ah, super, jetzt ist alles klar, vielen Dank!
MfG Felix.
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