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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 So 29.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
Ich versteh gerade eine Aufgabe nicht und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R²mit dem Standardskalarprodukt [mm] <\vec{x},\vec{y}> :=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}
[/mm]
und die lineare Abbildung A: R² [mm] \to [/mm] R²
[mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}} \mapsto \vektor{a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}
[/mm]
mit [mm] v_{1}=-2 [/mm] , [mm] v_{2}=-1
[/mm]
Ich soll nun [mm] a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} \in [/mm] R so bestimmen,dass die lineare Abbildun A eine Spiegelung an der von [mm] \vektor{v_{1}\\ v_{2}} [/mm] erzeugenden Geraden beschreibt
mfg mempys
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R²mit dem
> Standardskalarprodukt [mm]<\vec{x},\vec{y}> :=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}[/mm]
>
> und die lineare Abbildung A: R² [mm]\to[/mm] R²
> [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2}} \mapsto \vektor{a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}[/mm]
>
> mit [mm]v_{1}=-2[/mm] , [mm]v_{2}=-1[/mm]
>
> Ich soll nun [mm]a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} \in[/mm] R so
> bestimmen,dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an
> der von [mm]\vektor{v_{1}\\ v_{2}}[/mm] erzeugten Geraden
> beschreibt
hallo mempys,
ich weiss nicht, ob du eine Lösung vorlegen sollst, die sich
ganz im Rahmen der Matrixwelt abspielt. Dann müsste dies
wohl etwa so vorgehen:
[mm] A=D^{-1}SD
[/mm]
mit einer Drehung D, die den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] auf einen
Vektor abbildet, der auf der x-Achse liegt, und mit der
Spiegelung S (=Spiegelung an der x-Achse)
(ich benütze hier x und y anstelle von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] !)
Du kannst es aber auch mit ganz gewöhnlicher Vektor-
geometrie versuchen. Die von [mm] \vec{v} [/mm] erzeugte Gerade g
hat die Gleichung y=2x oder die Parameterdarstellung
x=t, y=2t.
Suche den Fusspunkt [mm] F(t_F/2*t_F) [/mm] des Lotes von
einem Punkt P(x/y) auf diese Gerade. Für den Spiegel-
punkt [mm] \overline{P} [/mm] von P bezüglich g gilt dann:
[mm] \overrightarrow{P\overline{P}}=2*\overrightarrow{PF}
[/mm]
Aus den berechneten Koordinaten von [mm] \overline{P} [/mm] kann man die
Matrix A leicht ablesen.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mo 30.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
Ja ich muss eine Matrix rausbekommen,dahe warscheinlich auch nach deiner schon beschriebenen Methode rechnen
"eine Lösung vorlegen, die sich
ganz im Rahmen der Matrixwelt abspielt:
$ [mm] A=D^{-1}SD [/mm] $
Nur eine frage habe ich noch,wie komme ich zu den S Koordinaten?D ist mein [mm] \vec{v} [/mm] ,das habe ich doch richtig verstanden?!
gruß mempys
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> Hallo!
> Ja ich muss eine Matrix rausbekommen,dahe warscheinlich
> auch nach deiner schon beschriebenen Methode rechnen
Eine Matrix als Lösung rausbekommen kannst du auch mit
der anderen vorgeschlagenen Methode. Ich würde dir sogar
empfehlen, beide Lösungswege auszuprobieren. das erweitert
den mathematischen Horizont...
> "eine Lösung vorlegen, die sich
> ganz im Rahmen der Matrixwelt abspielt:
>
> [mm]A=D^{-1}SD[/mm]
>
> Nur eine frage habe ich noch,wie komme ich zu den S
> Koordinaten?D ist mein [mm]\vec{v}[/mm] ,das habe ich doch richtig
> verstanden?!
>
> gruß mempys
hi mempys,
D soll eine 2x2-Drehmatrix sein, die den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] in einen
Vektor überführt, der in x-Richtung zeigt. Den notwendigen Dreh-
winkel kannst du mit elementarer Trigonometrie ermitteln.
S ist die 2x2-Matrix, welche die Spiegelung an der x-Achse beschreibt,
also müsste gelten:
[mm] S*\vektor{x\\y}=\vektor{x\\-y}
[/mm]
[mm] D^{-1} [/mm] ist die zu D inverse Drehmatrix.
al-Chw.
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