Spiegelung des R^2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt x,y = [mm] x_1y_1+x_2y_2
[/mm]
und die lineare Abbildung
A: [mm] R^2 \rightarrow R^2
[/mm]
x [mm] \rightarrow [/mm] Ax
Bestimmen Sie die Matrix A [mm] \in [/mm] R^(2x2) so, dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v erzeugten Geraden beschreibt.
v= [mm] \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tipp ist:
Wähle 1.) u und Su=u
2.) v mit v orthogonal zu u und Sv=-v
Dann hat man 2 Gleichungen mit 2 Variablen und kann S bestimmen.
Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
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Hallo,
ich will dir die komplette Lösung noch nicht verraten, sondern erstmal nur eine Anleitung geben. Also erstmal ist die Spiegelung ja eine Abbildung vom [mm]\IR^2[/mm] in den [mm]\IR^2[/mm]. Daher kann man die Spiegelung durch eine 2x2 Matrix beschreiben, von der man erstmal nichts weiß. Also hat sie ganz allgemein erstmal die Form
[mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d } [/mm]
So und nun geht es darum a,b,c und d zu bestimmen.
zu 1.) Überlege dir mal was mit der Geraden passiert wenn du an ihr spiegelst. Dann bekommst du das u sehr schnell.
zu 2.) Wenn du das u hast erhälst du das v indem du das u in das Sklarprodukt einsetzt. Dann "rät" man einen Vektor v so, dass das Sklarprodukt von u und v gleich Null ist, denn orthogonale Vektoren haben ja das Skalarprodukt 0. (Mann kann auch eine Koordinate von v beliebig wählen und die zweite dann berechnen).
Das u, das v und die Matrix in allgemeiner Form, kann man dann in die zwei gleichungen einsetzen und die Koeffizienten a,b,c,d bestimmen. Zusätzlich braucht man noch, dass Spiegelungen längenerhaltend sind, also dass die Determinante (det (A) = ad+bc = -1) oder dass das Skalarprodukt <Sx,Sy>=<x,y> ist. Ansonsten gibt es unendlich viele Lösungen.
Falls dir das erstmal nicht weiterhilft schau dir doch mal die sogenannten Spiegelungsmatrizen an. Damit kann man die sehr schnell lösen, aber dann braucht man den Tip nicht.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Student89 |
Hallo,
ich habe die Gerade gezeichnet, die durch den Vektor v entsteht. Wie bekomme ich jetzt u?
Gruß
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Hallo,
Es soll Su=u sein.Also kann ich den Vektor v als u nehmen.u [mm] =\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}.Ist [/mm] das so richtig ?
Gruß
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> Es soll Su=u sein.Also kann ich den Vektor v als u nehmen.u
> [mm]=\begin{pmatrix} -3 \\
2 \end{pmatrix}.Ist[/mm] das so richtig
> ?
Hallo,
ja. Du weißt nun: [mm] S*\vektor{-3\\2}=\vektor{-3\\2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
und für v habe ich v [mm] =\begin{pmatrix} 1 \\ (3/2) \end{pmatrix}. [/mm] Ich weiß nur nicht in welche 2Gleichungen ich einsetzen soll.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 25.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was passiertz mit einem Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht, wenn man ihn spiegelt? Wenn dus nicht weisst, zeichne einen und spiegle ihn.
Gruss leduart
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Hallo,
ich weiß nicht, wie ich auf die Matrix A komme. Für [mm] u=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}, [/mm] Su [mm] =\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} ,v=\begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \end{pmatrix}, [/mm] Sv [mm] =\begin{pmatrix} -1 \\ -3/2 \end{pmatrix}? [/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 25.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt lies noch mal den ersten post und schreib die 4 gl: für a,b,c,d auf! und dann lös das System.
Gruss leduart
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hallo,
meint sie als 2 Gleichungen (det (A) = ad+bc = -1) und <Sx,Sy>=<x,y>.Sonst sind keine anderen Gleichungen im ersten Post.
Gruß
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> hallo,
>
> meint sie als 2 Gleichungen (det (A) = ad+bc = -1) und
> <sx,sy>=<x,y>.Sonst sind keine anderen Gleichungen im
> ersten Post.
>
> Gruß
Hallo,
ich versteh gerade nicht so recht, worauf Du Dich beziehst.
Na, egal.
Du suchst eine Matrix [mm] S:=\pmat{a&b\\c&d}, [/mm] für welche gilt
1.
</x,y></sx,sy>$ [mm] S\cdot{}\vektor{-3\\2}=\vektor{-3\\2} [/mm] $
und
2. [mm] S*\vektor{1\\3/2}=\vektor{-1\\-3/2}.
[/mm]
Das liefert Dir 4 Gleichungen mit den Vaiablen a,b,c,d,
und es wäre gut, wenn die mal hier stehen würden, damit Du untersuchen kannst, welche Informationen über a,b,c,d Du hieraus erhältst.
Gruß v. Angela<sx,sy><x,y></x,y></sx,sy>
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Dann ist A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-0,92 & -0,38
\end{pmatrix}
[/mm]
Gruß
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> Dann ist A = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\
-0,92 & -0,38 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
ich glaub' nicht, daß das stimmt, bzw.: Indizien sagen mir, daß es nicht stimmt.
Poste, falls Du eine Korrektur wünschst, Deine Rechnung nachvollziehbar.
Deine helfer wollen ja nicht selbst zu Stift und Papier greifen, sondern die Richtigkeit Deiner Rechnung prüfen.
Gruß v. Angela
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Ist A [mm] =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
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Die vier Gleichungen sind dann :
-3a+2b =-3
-3c+ 2d = 2
a+3/2b =-1
c+3/2d =-3/2
a= 1
b= 0
c= -0,92
d= -0,38
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> Die vier Gleichungen sind dann :
> -3a+2b =-3
> -3c+ 2d = 2
> a+3/2b =-1
> c+3/2d =-3/2
Hallo,
Dein Gleichungssystem stimmt.
Das ist schonmal gut.
Der Fehler passiert also beim Lösen des Systems.
Wie kommst Du auf diese Lösungen:
> a= 1
> b= 0
> c= -0,92
> d= -0,38
Du kannst durch Einsetzen ins GS selbst feststellen, daß die Lösung falsch ist.
An irgendeiner Stelle mußt Du Dich also verrechnen.
(Ein bißchen habe ich den Verdacht, daß Du vielleicht meinst, man könne eine Variable beliebig wählen. Das ist nicht der Fall!)
Am besten präsentierst Du Deinen Rechenweg.
Gruß v. Angela
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Ist A [mm] =\begin{pmatrix}
0,39 & -0,92 \\
-0,92 & -0,38
\end{pmatrix}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 25.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ist A [mm]=\begin{pmatrix} 0,39 & -0,92 \\
-0,92 & -0,38 \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt stimmt es.
Marius
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> Ist A [mm]=\begin{pmatrix} 0,39 & -0,92 \\
-0,92 & -0,38 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
ich denke eigentlich nicht, daß man die Ergebnisse gerundet angeben soll.
Ich würde es exakt hinschreiben.
Bei der richtigen Matrix müssen ja auch die Einträge auf der Hauptdiagonalen betragsgleich sein, daher wird man mit dieser keinen Blumentopf gewinnen, schätze ich.
Gruß v. Angela
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Also mein Rechenweg
-3a+2b =-3
-3c+2d = 2
a + 3/2b= -1
c+3/2d = -3/2
c= -3/2-3/2d
-3(-3/2-3/2d)+2d = 2
9/2 +9/2d +2d =2
9/2+13/2d = 2
13/2d=-5/2
d= -0,38
c= -3/2-3/2(-5/13)
c= -0,92
a+3/2b=-1
a=-1-3/2b
-3(-1-3/2b)+2b=-3
3+9/2b+2b=-3
6,5b=-6
b=-0,92
-3a+2(-0,92)=-3
-3a=-1,16
a=0,39
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 25.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also mein Rechenweg
>
> -3a+2b =-3
> -3c+2d = 2
> a + 3/2b= -1
> c+3/2d = -3/2
>
> c= -3/2-3/2d
> -3(-3/2-3/2d)+2d = 2
> 9/2 +9/2d +2d =2
> 9/2+13/2d = 2
> 13/2d=-5/2
> d= -0,38
>
> c= -3/2-3/2(-5/13)
> c= -0,92
>
> a+3/2b=-1
> a=-1-3/2b
>
> -3(-1-3/2b)+2b=-3
> 3+9/2b+2b=-3
> 6,5b=-6
> b=-0,92
>
> -3a+2(-0,92)=-3
> -3a=-1,16
> a=0,39
Alles korrekt jetzt Stimmts.
Meinen Falschen Beitrag von vorhin korrigiere ich noch.
Marius
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