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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Di 14.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Es seinen a und b [mm] \in \IR^2 [/mm] zwei Einheitsvektoren und [mm] S_a [/mm] bzw. [mm] S_b [/mm] die Spiegelung an der Geraden senkrecht zu a bzw. b
a) Leiten Sie formeln her für [mm] S_a \circ S_b [/mm] und [mm] S_b \circ S_a
[/mm]
b) Zeigen Sie: Es ist [mm] S_a \circ S_b=S_b \circ S_a [/mm] genau dann, wenn a=±b oder (a.b)=0 |
Hi,
wenn ich das richtig vertsehe, sind [mm] S_a [/mm] und [mm] S_b [/mm] orthogonale Projektionen.
a und b sind eine ONB zu [mm] \IR^2
[/mm]
Wir haben im Skript die Formel
[mm] P_U(x)=\summe_{i=1}^{m}(x.v_{\mu})v_{\mu}, [/mm] dabei ist U [mm] \subset \IR^m [/mm] und wird von der ONB [mm] v_1,...,v_m [/mm] aufgespannt.
Ist das dann für unseren Fall
[mm] S_A=\summe_{i=1}^{2}(x.v_{\mu})v_{\mu}, [/mm] wobei [mm] v_{\mu} [/mm] hier einmal unser a und einmal das b ist. Also [mm] v_1=a [/mm] und [mm] v_2=b.
[/mm]
[mm] S_a \circ S_b [/mm] und [mm] S_b \circ S_a [/mm] sind dann jeweils, die Kompositionen der beidne Projektionen?
Wobei ich dann auf den ersten Blick nicht wüsste wie ich die vereinfahen soll (dzumindest denke ich, dass das noch gemacht werden müsste)
Weiter bin ich mit meinen Überlegungen leider nicht gekommen...:-(
P.S. werde erst am späten Nachmittag wieder reinschauen können
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> Es seinen a und b [mm]\in \IR^2[/mm] zwei Einheitsvektoren und [mm]S_a[/mm]
> bzw. [mm]S_b[/mm] die Spiegelung an der Geraden senkrecht zu a bzw.
> b
> a) Leiten Sie formeln her für [mm]S_a \circ S_b[/mm] und [mm]S_b \circ S_a[/mm]
>
> b) Zeigen Sie: Es ist [mm]S_a \circ S_b=S_b \circ S_a[/mm] genau
> dann, wenn a=±b oder (a.b)=0
> Hi,
>
> wenn ich das richtig vertsehe, sind [mm]S_a[/mm] und [mm]S_b[/mm] orthogonale
> Projektionen.
Hallo,
nein.
Es steht doch da, daß es Spiegelungen sind.
> a und b sind eine ONB zu [mm]\IR^2[/mm]
Von "ortho" lese ich dort nichts.
Einheitsvektoren sind es.
(Es steht noch nicht einmal ausdrücklich da, daß sie verschieden sind. Aber wenn nicht a=b oder a=-b, dann sind sie eine Basis.)
Gruß v. Angela
>
> Wir haben im Skript die Formel
> [mm]P_U(x)=\summe_{i=1}^{m}(x.v_{\mu})v_{\mu},[/mm] dabei ist U
> [mm]\subset \IR^m[/mm] und wird von der ONB [mm]v_1,...,v_m[/mm]
> aufgespannt.
>
> Ist das dann für unseren Fall
> [mm]S_A=\summe_{i=1}^{2}(x.v_{\mu})v_{\mu},[/mm] wobei [mm]v_{\mu}[/mm] hier
> einmal unser a und einmal das b ist. Also [mm]v_1=a[/mm] und [mm]v_2=b.[/mm]
>
> [mm]S_a \circ S_b[/mm] und [mm]S_b \circ S_a[/mm] sind dann jeweils, die
> Kompositionen der beidne Projektionen?
> Wobei ich dann auf den ersten Blick nicht wüsste wie ich
> die vereinfahen soll (dzumindest denke ich, dass das noch
> gemacht werden müsste)
>
> Weiter bin ich mit meinen Überlegungen leider nicht
> gekommen...:-(
>
> P.S. werde erst am späten Nachmittag wieder reinschauen
> können
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 14.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
>
> nein.
> Es steht doch da, daß es Spiegelungen sind.
>
>
> > a und b sind eine ONB zu [mm]\IR^2[/mm]
>
> Von "ortho" lese ich dort nichts.
> Einheitsvektoren sind es.
> (Es steht noch nicht einmal ausdrücklich da, daß sie
> verschieden sind. Aber wenn nicht a=b oder a=-b, dann sind
> sie eine Basis.)
>
> Gruß v. Angela
Ok dann habe ich mich total verhaspelt.
Dann ist [mm] S_a: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm] S_b: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x-2(x.b)b ?
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> Dann ist [mm]S_a:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm]S_b:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> x-2(x.b)b ?
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 14.06.2011 | | Autor: | Sup |
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> > Dann ist [mm]S_a:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm]S_b:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > x-2(x.b)b ?
>
> Hallo,
>
> ja, so ist es.
>
> Gruß v. Angela
a)
Gut dann ist [mm] S_a \circ S_b
[/mm]
[mm] S_a(x-2(x.b)b)= [/mm] (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
und [mm] S_b \circ S_b [/mm] =(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
Ist einfach stur eingesetzt. Kann man das noch vereinfachen?
ii) Hier setze ich dei dann einfach gleich
(x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a=(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
und dann müsste man das doch irgendwie vereinfachen können...
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> >
> > > Dann ist [mm]S_a:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm]S_b:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > > x-2(x.b)b ?
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, so ist es.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> a)
> Gut dann ist [mm]S_a \circ S_b[/mm]
> [mm]S_a(x-2(x.b)b)=[/mm]
> (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
>
> und [mm]S_b \circ S_a[/mm] =(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
>
> Ist einfach stur eingesetzt. Kann man das noch
> vereinfachen?
Hallo,
möglicherweise, wenn man die Klammern ausmultipliziert.
Du weißt, was die Verkettung zweier Spiegelungen ergibt?
(Ich weiß halt nicht, was bei Euch dran war: Du könntest die Abbildungen [mm] S_a [/mm] und [mm] S_b [/mm] natürlich auch mithilfe von Darstellungsmatrizen bzgl. passender Basen schreiben.)
>
> ii) Hier setze ich dei dann einfach gleich
>
> (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a=(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
> und dann müsste man das doch irgendwie vereinfachen
> können...
Ich würde auch hier erstmal ausmultiplizieren und dann weitersehen, was für Erkentnisse man gewinnt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Sup |
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> > >
> > > > Dann ist [mm]S_a:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm]S_b:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > > > x-2(x.b)b ?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, so ist es.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
> > a)
> > Gut dann ist [mm]S_a \circ S_b[/mm]
> > [mm]S_a(x-2(x.b)b)=[/mm]
> > (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
> >
> > und [mm]S_b \circ S_a[/mm] =(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
> >
> > Ist einfach stur eingesetzt. Kann man das noch
> > vereinfachen?
>
> Hallo,
>
> möglicherweise, wenn man die Klammern ausmultipliziert.
> Du weißt, was die Verkettung zweier Spiegelungen ergibt?
Eine Drehung, wenn ch mich nicht täusche.
> (Ich weiß halt nicht, was bei Euch dran war: Du könntest
> die Abbildungen [mm]S_a[/mm] und [mm]S_b[/mm] natürlich auch mithilfe von
> Darstellungsmatrizen bzgl. passender Basen schreiben
Das war zwar dran, aber damit bin ich mir unsicherer.
> > ii) Hier setze ich dei dann einfach gleich
> >
> >
> (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a=(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
> > und dann müsste man das doch irgendwie vereinfachen
> > können...
>
> Ich würde auch hier erstmal ausmultiplizieren und dann
> weitersehen, was für Erkentnisse man gewinnt.
Wenn man nur mal die Linke Seite betrachtet:
(x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a Ich bin mir nicht sicher, wie man das ausmiltipliziert z.B. 2(x.b)b
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > >
> > > > > Dann ist [mm]S_a:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2(x.a)a bzw. [mm]S_b:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> > > > > x-2(x.b)b ?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ja, so ist es.
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > >
> > > a)
> > > Gut dann ist [mm]S_a \circ S_b[/mm]
> > > [mm]S_a(x-2(x.b)b)=[/mm]
> > > (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
> > >
> > > und [mm]S_b \circ S_a[/mm] =(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
> > >
> > > Ist einfach stur eingesetzt. Kann man das noch
> > > vereinfachen?
> >
> > Hallo,
> >
> > möglicherweise, wenn man die Klammern ausmultipliziert.
> > Du weißt, was die Verkettung zweier Spiegelungen
> ergibt?
> Eine Drehung, wenn ch mich nicht täusche.
Hallo,
ja. Man kann sogar den Winkel sagen.
> > (Ich weiß halt nicht, was bei Euch dran war: Du
> könntest
> > die Abbildungen [mm]S_a[/mm] und [mm]S_b[/mm] natürlich auch mithilfe von
> > Darstellungsmatrizen bzgl. passender Basen schreiben
> Das war zwar dran, aber damit bin ich mir unsicherer.
Ich glaube, spätestens bei der Verkettung der Spiegelungen wäre das Arbeiten mit Matrizen vorteilhafter, denn die Drehung ist dann leichter zu erkennen.
Möglicherweise habt Ihr sogar Spiegel- und Drehmatrizen besprochen.
> > > ii) Hier setze ich dei dann einfach gleich
> > >
> > >
> >
> (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a=(x-2(x.a)a)-2*[(x-2(x.a)a).b]*b
> > > und dann müsste man das doch irgendwie vereinfachen
> > > können...
> >
> > Ich würde auch hier erstmal ausmultiplizieren und dann
> > weitersehen, was für Erkentnisse man gewinnt.
>
> Wenn man nur mal die Linke Seite betrachtet:
> (x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a Ich bin mir nicht sicher,
> wie man das ausmiltipliziert z.B. 2(x.b)b
(x-2(x.b)b)-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
=x-2(x.b)b-2*[(x-2(x.b)b).a]*a
=x-2(x.b)b-[(2x-4(x.b)b).a]*a
=x-2(x.b)b-[(2x*a)-4(x.b)b*a]*a
=x-2(x.b)b-(2x*a)a-4(x.b)(b*a)a
Das Durcheinander mit den Punkten und Sternen habe ich einfach übernommen.
Gruß v. Angela
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> Es seien a und b [mm]\in \IR^2[/mm] zwei Einheitsvektoren und [mm]S_a[/mm]
> bzw. [mm]S_b[/mm] die Spiegelung an der Geraden senkrecht zu a bzw. b
An dieser Aufgabe ist etwas überhaupt nicht klar,
denn es gibt unendlich viele Geraden, die zu einem
gegebenen Vektor senkrecht sind !
Vermutlich sind hier Ursprungsgeraden, also durch O(0|0)
gehende Geraden, als Spiegelungsachsen gemeint. Aber
eben: in der Aufgabenstellung steht davon nichts !
LG
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