Spiegelung d. Matrixabb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 07.07.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
ich kämpfe derzeit mit folgende Aufgabe:
[mm]A:=\bruch{1}{3} \pmat{2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2}[/mm]
Stellen sie [mm]A[/mm] als Produkt von Matrizen [mm]A_i[/mm] dar, dass die zu den [mm]A_i[/mm] gehörenden lin. Abbildungen Spiegelungen beschreiben.
Was ich weiß:
A ist eigentlich eine Drehung. Es gilt [mm]\det(A)=1[/mm], die Determinante von Spiegelungen ist -1, folglich brauche ich hier 2 Spiegelungen, wo gilt [mm]\det(A_i)=-1[/mm] und die somit ebenfalls orthogonal sind.
Ich habe hier leider nicht einmal Ahnung, wie ich das anpacke. Mir würde hier ein Ansatz zur Vorgehensweise schon reichen.
Liebe Grüsse,
Chrispy
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> Hallo,
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> ich kämpfe derzeit mit folgende Aufgabe:
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> [mm]A:=\bruch{1}{3} \pmat{2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2}[/mm]
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> Stellen sie [mm]A[/mm] als Produkt von Matrizen [mm]A_i[/mm] dar, dass die zu
> den [mm]A_i[/mm] gehörenden lin. Abbildungen Spiegelungen
> beschreiben.
>
> Was ich weiß:
> A ist eigentlich eine Drehung. Es gilt [mm]\det(A)=1[/mm], die
> Determinante von Spiegelungen ist -1, folglich brauche ich
> hier 2 Spiegelungen, wo gilt [mm]\det(A_i)=-1[/mm] und die somit
> ebenfalls orthogonal sind.
Hallo,
wenn es eine Drehung um einen Winkel [mm] \alpha [/mm] ist, was ich nicht nachgeprüft habe, gibt es eine Drehachse.
Diese Drehung kann man ersetzen durch zwei nacheinander ausgeführte Spiegelungen an Geraden, die sich im Winkel [mm] \bruch{ \alpha}{2} [/mm] schneiden. Diese Geraden müssen natürlich senkrecht zur Drehachse sein.
Da hat man doch schon fast ein Programm für das weitere Vorgehen. Zunächst die Drehachse bestimmen, die geht ja in Richtung des Eigenvektors.
Zwei dazu senkrechte Geraden, die sich im passenden Winkel schneiden. Diese drei Vorzugsrichtungen könnte man ja sogar als Basis verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 07.07.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo Crispy!
Hallo Julius, danke für deine Rettung mit dem Drehwinkel wäre ich nämlich fast verzweifelt.
>
> [mm]\pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm].
>
Dann erhalte ich
[mm]\bruch{1}{3} \pmat{-2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2}[/mm].
> Und wie kann ich das Ganze dann so umformen, dass man das
> Gewollte anschließend erhält?
Mit deiner Matrix und der neu entstandenen habe ich dieses Ding wohl in ein Produkt von 2 Spiegelungen zerlegt.
Ist hier noch eine weitere Umformung nötig?
> Der Clou hier ist halt, dass [mm]SO(3)[/mm] eine Untergruppe von
> [mm]O(3)[/mm] (vom Index [mm]2[/mm]) ist und man damit ein bisschen
> rumspielen soll. 
Ich weiß hier nicht genau, was du unter SO und O verstehst.
Greetz,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Crispy!
> > Hallo Crispy!
> Hallo Julius, danke für deine Rettung mit dem Drehwinkel
> wäre ich nämlich fast verzweifelt.
> >
> > [mm]\pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm].
> >
> Dann erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{3} \pmat{-2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2}[/mm].
Okay, dann hast du sie von rechts multipliziert. Du hast also
[mm]\bruch{1}{3} \pmat{-2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2} \cdot \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}= \bruch{1}{3} \pmat{2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2}[/mm],
und damit:
[mm]\bruch{1}{3} \pmat{-2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2} = \bruch{1}{3} \pmat{2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2} \cdot \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm],
da [mm] $\pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ [/mm] ja zu sich selbst invers ist.
> Ich weiß hier nicht genau, was du unter SO und O
> verstehst.
$O(3)$ ist die Gruppe der orthogonalen $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen, $SO(3)$ die Untergruppe der orthogonalen [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen mit Determinante $1$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 07.07.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo Julius,
Danke für deine rasche Antwort.
Jetzt lass mich an einer anderen Aufgabe selbst nachrechnen ob ich alles verstanden habe:
Die Aufgabe:
[mm]A = \pmat{4/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & -1 & 0 \\ -3/5 & 0 & 4/5}[/mm].
[mm]\det(A)=-1[/mm]
Schreiben Sie A als Produkt von Hyperebenenspiegelungen.
1. Schritt
[mm]A = \pmat{4/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3/5 & 0 & 4/5} \cdot \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
2. Schritt
[mm]A = \pmat{-4/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3/5 & 0 & 4/5} \cdot \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \cdot \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Da einmal an der [mm]x_{1}-x_{3}[/mm] und einmal an der [mm]x_{2}-x_{3}[/mm]-Ebene gespiegelt wird, sind dies wohl alles Hyperebenenspiegelungen.
Ich hoffe ich habe nun alles verstanden.
Besten Dank euch allen,
Gruss, Chrispy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, $A$ selber war ja schon eine Hyperebenenspiegelung.
Du musst darauf achten (bei einer Hyperebenenspiegelung), dass die Matrizen orthogonal sind, die Determinante $-1$ haben, aber den Eigenwert $-1$ nur mit Vielfachheit $1$ (und nicht etwa $3$ haben). (Denn dann wäre es eine Punktspiegelung.)
Schau also einfach, dass die Matrizen nicht negativ definit sind, dann ist alles in Ordnung.
Das hast du aber beachtet! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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