matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAbbildungen und MatrizenSpiegelung an einer Ebene
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Abbildungen und Matrizen" - Spiegelung an einer Ebene
Spiegelung an einer Ebene < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Abbildungen und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Spiegelung an einer Ebene: Abbildungsmatrix bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Sa 22.03.2008
Autor: onetwo

Aufgabe
Ein Punkt P(x|y|z) werde an der Ebene E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}* [/mm] 0X = 0 gespiegelt.
                                                                            

Gin die Koordinarten des Bildpunktes P' von P an.
Wie lautet die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?
  

Ich schreibe in 2 Wochen über dieses Thema eine Klausur. Leider habe ich davon nur wenig ahnung und die Lösung dieser Aufgabe würde mich ein wenig näher bringen.
Ich weiss nur, dass die Ebenengleichung in normalenform gegeben ist. Mein Lehrer meinte, dass man aus dieser erkennen kann, dass die Ebene, wenn amn sie richtig zeichnet, für mich wie eine Gerade aussieht. Somit wäre das einfach nur eine Spiegelung an einer Geraden also nur die Koordinarten vertauschen. (x1|x2|x3) -> (x3|x2|x1).
Aber wie ich von alleine in der Klausur auf diese Idee kommen soll weiss ich nicht.
Kann man überaupt einen Ebene nur aus der Normalenform zeichnen?

Ich bitte um Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Sa 22.03.2008
Autor: MathePower

Hallo onetwo,

[willkommenmr]

> Ein Punkt P(x|y|z) werde an der Ebene E: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}*[/mm]
> 0X = 0 gespiegelt.
>                                                            
>                  
>
> Gin die Koordinarten des Bildpunktes P' von P an.
>  Wie lautet die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?
>  
> Ich schreibe in 2 Wochen über dieses Thema eine Klausur.
> Leider habe ich davon nur wenig ahnung und die Lösung
> dieser Aufgabe würde mich ein wenig näher bringen.
> Ich weiss nur, dass die Ebenengleichung in normalenform
> gegeben ist. Mein Lehrer meinte, dass man aus dieser
> erkennen kann, dass die Ebene, wenn amn sie richtig
> zeichnet, für mich wie eine Gerade aussieht. Somit wäre das
> einfach nur eine Spiegelung an einer Geraden also nur die
> Koordinarten vertauschen. (x1|x2|x3) -> (x3|x2|x1).
>  Aber wie ich von alleine in der Klausur auf diese Idee
> kommen soll weiss ich nicht.
> Kann man überaupt einen Ebene nur aus der Normalenform
> zeichnen?

Sinnigerweise such man sich bestimmte Punkte der Ebene heraus, um sie zu zeichnen. Das sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Das ist dann das sogenannte []Spurdreieck

>  
> Ich bitte um Hilfe!

Um den Spiegelpunkt P' zu berechnen, schneidest die Gerade [mm]g:\overrightarrow{x}=\pmat{x \\ y \\ z} + t* \pmat{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] mit der gegebenen Ebene E, in dem Du die Gerade g in die Ebenengleichung einsetzt.

Daraus erhältst Du einen Wert für t. Da P' auf der anderen Seite der Ebene E liegt, gilt:

[mm]\pmat{ x' \\ y' \\ z'}=\pmat{ x \\ y \\ z}+2*t*\pmat{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 22.03.2008
Autor: onetwo

und wie komme ich an die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?

Bezug
                        
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Sa 22.03.2008
Autor: MathePower

Hallo onetwo,

> und wie komme ich an die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an
> E?

Das t wird ja sicherlich von x, y, z abhängig sein.

Demnach hast Du

[mm]\pmat{x' \\ y' \\ z'}=\pmat{x \\ y \\ z}+ t\left(x, \ y, \ z\right)*\pmat{1 \\ 0 \\ -1}=\pmat{x + t\left(x, \ y, \ z \right) \\ y \\ z-t\left(x,\ y, \ z \right)}[/mm]

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

[mm] x'=x+t\left(x, \ y, \ z \right)= a_{11}*x+a_{12}*y+a_{13}*z[/mm]

[mm] y' = y =a_{21}*x+a_{22}*y+a_{23}*z[/mm]

[mm] z'=z-t\left(x, \ y, \ z \right)= a_{31}*x+a_{32}*y+a_{33}*z[/mm]

[mm]\Rightarrow \pmat{x' \\ y' \\ z'}=\underbrace{\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}}_{Abbildungsmatrix} * \pmat{x \\ y \\ z}[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Sa 22.03.2008
Autor: onetwo

Vielen Dank für deine Antworten.
Du hast mir viel weitergeholfen!

Gruß

Onetwo

Bezug
                                
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Sa 22.03.2008
Autor: onetwo

Ich hab noch eine Frage zu der Ebenengleichung
E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}* [/mm] 0X=0
In deiner Lösung verwedest du den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}. [/mm]
Was sagt dieser aus?
Ist das einfach nur der Richtungsvektor der Ebene, welcher auch später in der Geradengleichung verwedet wird?


Bezug
                                        
Bezug
Spiegelung an einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Sa 22.03.2008
Autor: MathePower

Hallo onetwo,

> Ich hab noch eine Frage zu der Ebenengleichung
> E: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}*[/mm] 0X=0
>  In deiner Lösung verwedest du den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
>  
> Was sagt dieser aus?
>  Ist das einfach nur der Richtungsvektor der Ebene, welcher
> auch später in der Geradengleichung verwedet wird?
>  

Das ist der Normalenvektor der Ebene E.

Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene E.

[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ -1 } * \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \gdw x_{1}-x_{3}=0[/mm]

[mm]\Rightarrow x_{1}=x_{3}, \ x_{2}=v, \ x_{3}=u[/mm]

[mm] \Rightarrow \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} = \pmat{0 \\ 0 \\ 0}+ u * \pmat{1 \\ 0 \\ 1} + v * \pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]

[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] sind dann die Richtungsvektoren der Ebene E.

Gruß
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Abbildungen und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]