Spiegelung an Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Sa 17.07.2010 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
wie kann ich eine Abbildungsmatrix M im Standardkoordinatensystem konstruieren, die die Spiegelung an der Ebene E: 2x + 2y + z = 6 beschreibt ?
In dem mir vorliegenden Skript habe ich lediglich Abbildungsmatrizen im [mm] R^3, [/mm] die Drehungen bzw. Spiegelungen an den einzelnen Koordinatenachsen beschreibt.
Meine Idee ist, dass ich einfach die Basisvektoren als Punkte interpretiere und diese Punkte an der Ebene E spiegele.
D.h. ich spiegle den Punkt P(1/0/0) an E (dies würde ich so machen, dass ich den Lotfußpunkt mit einer Hilfsgerade berechne und dann mit Hilfe eines Vektorzuges den Spiegelpunkt P* ermittle. Die Koordinaten von P* würde ich dann als erste Spalte der Abbildungsmatrix M interpretieren.
Analog würde ich die Punkte Q(0/1/0) und R(0/0/1) spiegeln.
Ist diese Idee richtig ?
Und falls ja, wäre ich für Hinweise dankbar, ob ich auf einem schnelleren Weg mit Hilfe der mir vorliegenden Matrizen aus meinem Skript diese Aufgabe auch schneller lösen kann als über die Spiegelung dreier Punkte.
Danke im voraus für eure Hinweise.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> wie kann ich eine Abbildungsmatrix M im
> Standardkoordinatensystem konstruieren, die die Spiegelung
> an der Ebene E: 2x + 2y + z = 6 beschreibt ?
>
> In dem mir vorliegenden Skript habe ich lediglich
> Abbildungsmatrizen im [mm]R^3,[/mm]
schreibe es so: [mm] $\IR^3$
[/mm]
> die Drehungen bzw. Spiegelungen
> an den einzelnen Koordinatenachsen beschreibt.
>
> Meine Idee ist, dass ich einfach die Basisvektoren als
> Punkte interpretiere und diese Punkte an der Ebene E
> spiegele.
> D.h. ich spiegle den Punkt P(1/0/0) an E (dies würde ich
> so machen, dass ich den Lotfußpunkt mit einer Hilfsgerade
> berechne und dann mit Hilfe eines Vektorzuges den
> Spiegelpunkt P* ermittle. Die Koordinaten von P* würde ich
> dann als erste Spalte der Abbildungsmatrix M
> interpretieren.
> Analog würde ich die Punkte Q(0/1/0) und R(0/0/1)
> spiegeln.
>
> Ist diese Idee richtig ?
nicht ganz. Wegen $0=2*0+2*0+0 [mm] \not=6$ [/mm] ist [mm] $E\,$ [/mm] keine Ursprungsebene, d.h. eine Spiegelung an [mm] $E\,$ [/mm] kann keine lineare Abbildung sein (wenn eine Spiegelung an einer Ebene eine lineare Abbildung ist, so würde diese Spiegelung die [mm] $(0,0,0)^T$ [/mm] auf die [mm] $(0,0,0)^T$ [/mm] abbilden, was aber offensichtlich nur geht, wenn [mm] $E\,$ [/mm] eine Ursprungsebene ist).
Du kannst aber prüfen, ob es eine ![[]](/images/popup.gif) affin-lineare Abbildung ist. Und dann läßt sich Dein Ansatz ausbauen:
Du nimmst die zu Deiner Ebene parallele Ursprungsebene, d.h.
[mm] $$E_{\parallel}:\;\;2x+2y+z=0\,.$$ [/mm]
Diese ist parallel, weil sie den gleichen Normalenvektor wie die obige hat, und geht offenbar durch [mm] $(0,0,0)^T\,.$ [/mm]
Wie ist das nun mit Spiegelungen an Ursprungsebenen? Skalare Vielfache eines Vektors werden offenbar auf das skalare Vielfache des gespiegelten Vektors abgebildet. Und wenn man einen Vektor als Summe zweier Vektoren hat, so ist der gespiegelte Vektor die Summe der beiden gespiegelten Vektoren, also ist das eine lineare Abbildung (und damit ist Deine obige Spiegelunsabbildung [mm] $f\,$ [/mm] eine affin lineare Abbildung).
Damit kannst Du Deine Überlegungen wie oben machen und eine entsprechende "Spiegelungsmatrix [mm] $A_{\parallel}$" [/mm] aufstellen.
Danach gilt:
Sei $p [mm] \in \IR^3$ [/mm] ein Punkt in [mm] $E\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$f(\vec{x})=A_\parallel*(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p}\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Oder [/mm] in Form einer affin-linearen Abbildung:
[mm] $$f(\vec{x})=A_\parallel*\vec{x}+\underbrace{(\vec{p}-A_\parallel*\vec{p})}_{:=\vec{b}}\,.\text{)}$$
[/mm]
P.S.:
Wir kontrollieren dies:
Sei o.E. durch
[mm] $$E:\;\;(\vec{x}-\vec{p})\bullet\vec{n}=0$$
[/mm]
die Ebene in Normalenform gegeben.
Dann hat der Vektor (wenn [mm] $x\in \IR^3$ [/mm] kein Punkt von [mm] $E\,$ [/mm] ist)
[mm] $$f(\vec{x})-\vec{x}=A_\parallel*(\vec{x}-\vec{p})-(\vec{x}-\vec{p})$$
[/mm]
die gleiche Richtung wie [mm] $-\vec{n}$ [/mm] nach Konstruktion von [mm] $A_\parallel\,,$ [/mm] steht also senkrecht auf [mm] $E\,.$ [/mm] Es ist daher (wegen Pythagoras) nur zu prüfen, ob [mm] $|\vec{x}-\vec{p}|=|f(\vec{x})-\vec{p}|$ [/mm] gilt, wobei $|.|$ die "euklidische Länge bzgl. des [mm] $\IR^3$" [/mm] sei.
Nun gilt aber
[mm] $$|f(\vec{x})-\vec{p}|=|A_\parallel *(\vec{x}-\vec{p})|=|\vec{x}-\vec{p}|,$$
[/mm]
weil per Konstruktion [mm] $A_{\parallel}$ [/mm] Spiegelungsmatrix bzgl. der Ursprungsebenen
[mm] $$E_{\parallel}: \vec{x}\bullet\vec{n}=0$$
[/mm]
war.
Dabei ist [mm] $\bullet$ [/mm] das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, also [mm] $\vec{x}\bullet\vec{y}=\vec{x}^T*\vec{y}\,.$
[/mm]
P.S.:
Leider passieren (mir) in der Geometrie sehr schnell Flüchtigkeitsfehler, die meist aus einer "anschaulischen Fehlinterpretation" hervorgehen. Daher:
Bitte ganz genau lesen und nochmal durchdenken und ausprobieren, dass ich mich da nicht irgendwo total vertan habe!
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 17.07.2010 | | Autor: | rubi |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hinweise.
Ich wiederhole es nochmals mit meinen eigenen Worten, wie ich es verstanden habe:
Wenn es sich um eine Ursprungsebene handelt an der zu spiegeln ist (also in der Form E: ax + by + cz = 0), dann kann ich die drei Punkte P(1/0/0), Q(0/1/0) und R(0/0/1) an E spiegeln und die Abbildungsmatrix wie bereits beschrieben aufstellen.
Sofern es sich um keine Ursprungsebene handelt, ist es gar nicht möglich, dies als einzige Abbildungsmatrix darzustellen, sondern muss die Funktion wie von dir dargestellt als affine Abbildung aufstellen.
Stimmt dies so ?
Danke und viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 18.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo rubi,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Hinweise.
>
> Ich wiederhole es nochmals mit meinen eigenen Worten, wie
> ich es verstanden habe:
> Wenn es sich um eine Ursprungsebene handelt an der zu
> spiegeln ist (also in der Form E: ax + by + cz = 0), dann
> kann ich die drei Punkte P(1/0/0), Q(0/1/0) und R(0/0/1) an
> E spiegeln und die Abbildungsmatrix wie bereits beschrieben
> aufstellen.
ja genau. Wobei ich die Ebene (ich schreibe nun immer [mm] $E_\parallel\,,$ [/mm] wenn es sich um eine bzgl. [mm] $E\,$ [/mm] parallele Ursprungsebene handelt) in der Form
[mm] $$\blue{(\*)}\;\;E=E_\parallel:\;\;\vec{x}^T*\vec{n}=0$$
[/mm]
schreiben würde. Dabei muss [mm] $\vec{n}$ [/mm] nicht unbedingt normiert sein (aber für weitere Rechnungen kann das günstig sein), aber wenigstens orthogonal auf [mm] $E\,$ [/mm] stehen. Aber solch einen Vektor findet man mit
[mm] $$E=E_\parallel:\;\;ax+by+cz=0$$
[/mm]
sehr schnell:
[mm] $$\vec{n}:=\vektor{a\\b\\c} \in \IR^3$$
[/mm]
tut's.
(In [mm] $\blue{(\*)}$ [/mm] ist die Abbildung [mm] $*\,$ [/mm] hier das übliche Matrizenprodukt, und es ist [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \in \IR^3\,,$ [/mm] analog für [mm] $\vec{n} \in \IR^3\,.$ [/mm] Anders formuliert:
[mm] $\vec{x}^T*\vec{n}=\vec{x}\bullet \vec{n}\,,$ [/mm] wenn die Abbildung [mm] $\bullet$ [/mm] das "übliche Skalarprodukt" bzgl. des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.)
> Sofern es sich um keine Ursprungsebene handelt, ist es gar
> nicht möglich, dies als einzige Abbildungsmatrix
> darzustellen, sondern muss die Funktion wie von dir
> dargestellt als affine Abbildung aufstellen.
>
> Stimmt dies so ?
Ja.
Alles weitere solltest Du übrigens erst lesen, wenn Du Deine Aufgabe nicht erstmal selbst komplett durchrechnen willst oder, wenn Du eine "Anleitung" brauchst.
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Ich habe das übrigens mal durchgerechnet, und skizziere Dir das ganze mal:
Es war
[mm] $$E:\;\;2x+2y+z=6\,.$$
[/mm]
Dann ist die zu [mm] $E\,$ [/mm] parallele Ursprungsebene [mm] $E_\parallel$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$E_\parallel:\;\;2x+2y+z=0\,.$$
[/mm]
Wir setzen [mm] $\vec{n}:=\vektor{2\\2\\1}\,.$
[/mm]
Seien [mm] $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\,,$ $\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)^T$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)^T$ [/mm] die Einheitsvektoren des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Wir berechnen die auf [mm] $E_\parallel$ [/mm] orthogonalen Projektionen [mm] $\overrightarrow{p_{e_i}}$ [/mm] ($i=1,2,3$):
Ansatz:
Es soll [mm] $\overrightarrow{e_1}+\lambda_1*\vec{n} \in E_\parallel$ [/mm] sein, also
[mm] $$2*(1+\lambda_1*2)+2*(\lambda_1*2)+\lambda_1=0$$
[/mm]
und damit [mm] $\lambda_1=-2/9\,.$
[/mm]
Damit ist [mm] $\overrightarrow{p_{e_1}}=(5/9,-4/9,-2/9)^T\,.$
[/mm]
Ferner ergibt sich für den Spiegelpunkt von [mm] $\overrightarrow{e_1}$ [/mm] bzgl. [mm] $E_\parallel$, [/mm] wenn wir mit [mm] $f_\parallel$ [/mm] die (lineare) "Spiegelfunktion" bezeichnen:
[mm] $$f_\parallel(\overrightarrow{e_1})=\overrightarrow{e_1}+2*(\overrightarrow{p_{e_1}}-\overrightarrow{e_1})=2*\overrightarrow{p_{e_1}}-\overrightarrow{e_1}=(1/9,-8/9,-4/9)^T\,.$$
[/mm]
(Du kannst natürlich auch
[mm] $$f_\parallel(\overrightarrow{e_1})=\overrightarrow{e_1}+2*\lambda_1*\vec{n}$$
[/mm]
rechnen.)
Analog rechnest Du für [mm] $\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ [/mm] und solltest (mit offensichtlich [mm] $\lambda_2=\lambda_1=-2/9$; [/mm] und mit [mm] $\lambda_3=-1/9$)
[/mm]
[mm] $$f_\parallel(\overrightarrow{e_2})=(-8/9,1/9,-4/9)^T$$
[/mm]
und
[mm] $$f_\parallel(\overrightarrow{e_3})=(-4/9,-4/9,7/9)^T$$
[/mm]
und damit
[mm] $$A_\parallel=(f_\parallel(\overrightarrow{e_1}),f_\parallel(\overrightarrow{e_2}),f_\parallel(\overrightarrow{e_3}))$$
[/mm]
hinschreiben können.
Dann ist
[mm] $$f_\parallel(\vec{x})=A_\parallel*\vec{x}\,.$$ [/mm]
Nun gilt für beliebigen Punkt $p [mm] \in [/mm] E$ und wenn wir mit [mm] $f\,$ [/mm] die "Spiegelfunktion bzgl. $E$ bezeichnen":
[mm] $$f(\vec{x})=A_\parallel*(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p}=A_\parallel *\vec{x}+(\vec{p}-A_\parallel*\vec{p})\,.$$
[/mm]
Bei Dir ist offensichtlich $p=(0,0,6)$ ein Punkt in [mm] $E\,,$ [/mm] so dass Du mit [mm] $\vec{p}=\vektor{0\\0\\6}$ [/mm] rechnen kannst.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rubi |
Hallo Marcel,
super erklärt, besten Dank !
Viele Grüße
Rubi
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Hallo ihr lieben, ich habe mich soeben neu angemeldet und hoffe somit, keine Fehler gemacht zu haben.
Ich muss mich mit einer Aufgabe beschäftigen, die in etwa der obrigen entspricht (Ermittlung einer Spiegelungsmatrix für die Spiegelung an einer Ebene); allerdings verstehe ich die Erklärung leider nicht wirklich, mein Wissen baut nur auf Schulmathe auf.
Es wäre toll wenn mir jemand helfen würde.
Ich bedanke mich schon mal im vorraus :)
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du solltest Deine Aufgabe wirklich mitteilen, denn wenn sie uns vorliegt, fällt das Erklären leichter.
Spiegelungen an Ebenen, die durch den Ursprung gehen, sind lineare Abbildungen.
Diese sind eindeutig bestimmt durch die Angabe der Funktionswerte auf einer Basis.
Nimm als Basis des [mm] \IR^3 [/mm] drei Vektoren, die gut zur Geometrie der Abbildung passen:
zwei Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] die die Ebene aufspannen, einen weiteren Vektor [mm] v_3, [/mm] der senkrecht zur Ebene ist.
Die Spiegelung nennen wir mal [mm] s_E.
[/mm]
Notiere nun erstmal, worauf die drei Vektoren abgebildet werden, also
[mm] s_E(v_1)=...
[/mm]
[mm] s_E(v_2)=...
[/mm]
[mm] s_E(v_3)=...
[/mm]
Als nächstes mußt Du wissen, daß in den Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der drei Standardeinheitsvektoren stehen.
Du mußt nun daran arbeiten, [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] jeweils als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] zu schreiben.
Wenn Du das hast, nutzt Du die Linearität von [mm] s_E [/mm] und bekommst mit
[mm] s_E(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1s_E(v_1)+a_2s_E(v_2)+a_3s_E(v_3)
[/mm]
die Bilder der Standardeinheitsvektoren.
LG Angela
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Die konkrete Aufgabe lautet:
Ermitteln Sie für ein Objekt ihrer Wahl die Spiegelungspunkte für die Spiegelung an einer Ebene mit E: 1x1+0.25x2-x3=0 (den Teil konnte ich noch)
Entscheiden Sie, ob es eine Spiegelungsmatrix gibt und bestimmen Sie diese gegebenfalls.
Es wäre toll, wenn du mir bei der konkreten Aufgabe weiterhelfen würdest
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:25 So 13.05.2012 | | Autor: | xxsomebodyxx |
Die Vektoren v1, v2 und v3 habe ich als Lineakominationen aufgeschrieben.
Könntest du den Schritt danach einmal zeigen, da ich unter anderem nicht ganz verstehe worauf sich das a bezieht (Koordinaten in der Ebene, im Raum oder der Normale) und warum man diesen Schritt durchführen muss.
Ich bin wirklich kurz vorm verzweifeln und für jede Hilfe dankbar
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> Die Vektoren v1, v2 und v3 habe ich als Lineakominationen
> aufgeschrieben.
Hallo,
ich helfe Dir wirklich gern - doch muß ich sehen, was Du getan hast!
Dann kann ich Anmerkungen dazwischenschreiben, farbig markieren, mir per paste© kl. Korrekturen leicht machen.
Zeig also, was Du bisher getan hast!
Ich weiß ja nichtmal, welche Vektoren Du als [mm] v_i [/mm] genommen hast...
LG Angela
> Könntest du den Schritt danach einmal zeigen, da ich unter
> anderem nicht ganz verstehe worauf sich das a bezieht
> (Koordinaten in der Ebene, im Raum oder der Normale) und
> warum man diesen Schritt durchführen muss.
>
> Ich bin wirklich kurz vorm verzweifeln und für jede Hilfe
> dankbar
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Okay, hier was ich bisher getan habe:
Zum ersten Teil der Aufgabe: Ich habe den Punkt P (7/8/5), der nicht in der Ebene liegt zum spiegeln gewählt.
Das war mein Ortsvektor zum bilden eines Lotes, der die Ebene schneidet, der Normalenvektor diente mir als Richtungsvektor dieses Lotes. Damit habe ich den Schnittpunkt S bestimmt und dann zum berechnen des Punktes P´ folgendes gerechnet: [mm] \vec{0S}+(\vec{0S}-\vec{0P})=P´´.
[/mm]
Beim zweiten Teil habe ich für V1 [mm] \vektor{3\\ -4\\2 } [/mm]
für v2 [mm] \vektor{-1\\ 4\\0 } [/mm]
für v3 [mm] \vektor{1\\ 0.25\\-1 } [/mm] (Normale der Ebene) gewählt
Als Linearkomination: [mm] v1=3*\vektor{1\\ 0\\0 } -4*\vektor{0\\ 1\\0 } +2*\vektor{0\\ 0\\1 }
[/mm]
dementsprechend auch für V2 und v3
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> Zum ersten Teil der Aufgabe: Ich habe den Punkt P (7/8/5),
> der nicht in der Ebene liegt zum spiegeln gewählt.
> Das war mein Ortsvektor zum bilden eines Lotes, der die
> Ebene schneidet, der Normalenvektor diente mir als
> Richtungsvektor dieses Lotes. Damit habe ich den
> Schnittpunkt S bestimmt und dann zum berechnen des Punktes
> P´ folgendes gerechnet:
> [mm]\vec{0S}+(\vec{0S}-\vec{0P})=P´´.[/mm]
Hallo,
ja, so kann man das machen, rechts soll sicher P' bzw. [mm] \overrightarrow{0P'} [/mm] stehen, der Ortsvektor des gespiegelten Punktes.
>
> Beim zweiten Teil habe ich für V1 [mm]\vektor{3\\
-4\\
2 }[/mm]
> für v2 [mm]\vektor{-1\\
4\\
0 }[/mm]
> für v3 [mm]\vektor{1\\
0.25\\
-1 }[/mm] (Normale der Ebene)
> gewählt
Ja, das ist eine sinnvolle Wahl.
Nun schreib doch mal die Bilder dieser Vektoren unter der Abbildung [mm] s_E [/mm] auf:
[mm] s_E(v_1)=...
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
>
> Als Linearkomination: [mm]v1=3*\vektor{1\\
0\\
0 } -4*\vektor{0\\
1\\
0 } +2*\vektor{0\\
0\\
1 }[/mm]
>
> dementsprechend auch für V2 und v3
Das stimmt, ist aber nicht so aufregend...
Ich hatte mir andere Linearkombinationen gewünscht: die Standardbasisvektoren sollen als Linearkombination von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] geschrieben werden, also genau andersrum.
Damit wir die Bilder der Standardbasisvektoren bequem bestimmen können mithilfe der Bilder der [mm] v_i [/mm] brauchen wir diese Linearkombinationen.
Und die Bilder der Standardbasisvektoren wiederum braucht man für die Matrix.
LG Angela
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Die Linearkominationen müssten dann so aussehen:
8/33 * [mm] \vektor{3 \\ -4\\ 2} [/mm] +7/33 * [mm] \vektor{-1 \\ 4\\ 0} [/mm] +16/33 * [mm] \vektor{1 \\ 0.25\\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 0\\ 0}
[/mm]
2/33 * [mm] \vektor{3 \\ -4\\ 2} [/mm] +10/33 * [mm] \vektor{-1 \\ 4\\ 0} [/mm] +14/33 * [mm] \vektor{1 \\ 0.25\\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 1\\ 0}
[/mm]
17/66 * [mm] \vektor{3 \\ -4\\ 2} [/mm] +19/66 * [mm] \vektor{-1 \\ 4\\ 0} [/mm] -16/33 * [mm] \vektor{1 \\ 0.25\\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 1\\ 0}
[/mm]
Was müsste ich jetzt tun? Ich verstehe die angegebene Gleichung nicht.
Vielen lieben dank nochmals.
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> Die Linearkominationen müssten dann so aussehen:
>
> 8/33 * [mm]\vektor{3 \\
-4\\
2}[/mm] +7/33 * [mm]\vektor{-1 \\
4\\
0}[/mm]+16/33 * [mm]\vektor{1 \\
0.25\\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
0\\
0}[/mm]
>
> 2/33 * [mm]\vektor{3 \\
-4\\
2}[/mm] +10/33 * [mm]\vektor{-1 \\
4\\
0}[/mm] +14/33 * [mm]\vektor{1 \\
0.25\\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\
1\\
0}[/mm]
>
> 17/66 * [mm]\vektor{3 \\
-4\\
2}[/mm] +19/66 * [mm]\vektor{-1 \\
4\\
0}[/mm] -16/33 * [mm]\vektor{1 \\
0.25\\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\
1\\
0}[/mm]
Hallo,
zuvor solltest Du die Bilder der Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] unter der Spiegelung aufschreiben.
[mm] s_E(v_i) [/mm] ist der Vektor, auf den [mm] v_i [/mm] bei der Spiegelung abgebildet wird.
>
> Was müsste ich jetzt tun? Ich verstehe die angegebene
> Gleichung nicht.
Es wäre ganz gut, würdest Du die Gleichung, die Du nicht verstehst, zitieren, und sagen, was Du nicht verstehst.
LG Angela
> Vielen lieben dank nochmals.
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| Aufgabe | | Notiere nun erstmal, worauf die drei Vektoren abgebildet werden |
Ich glaube, mein Problem ist, dass ich nicht genau verstehe was mit Bilder eines Vektors gemeint ist und vor allem wonach mit dem Ausdruck sE(v1) gefragt wird. Könntest du mir ein Beispiel dafür geben?
Die vorhin gemeinte Formel war folgende: $ [mm] s_E(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1s_E(v_1)+a_2s_E(v_2)+a_3s_E(v_3) [/mm] $
Allerdings resultiert das wohl daraus, dass ich bereits den Ansatz nicht wirklich durchdrungen habe.
Ansonsten hätte ich versucht, den Ortsvektor vom Punkt P mit den Vektoren e1, e2 und e3 zu beschreiben.
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Hallo,
> Notiere nun erstmal, worauf die drei Vektoren abgebildet
> werden
> Ich glaube, mein Problem ist, dass ich nicht genau
> verstehe was mit Bilder eines Vektors gemeint ist
das, worauf der Vektor abgebildet wird.
Die Abbildung ist hier die Spiegelung an Deiner Ebene, ich habe ihr halt den Namen [mm] s_E [/mm] gegeben.
[mm] s_E(v) [/mm] ist sowas wie f(x).
Bei f() sagt man ja auch den Funktionswert zu x.
> und vor
> allem wonach mit dem Ausdruck sE(v1) gefragt wird.
Danach, was moit dem Vektor [mm] v_1 [/mm] bei der Spiegelung an der Ebene passiert.
> Könntest du mir ein Beispiel dafür geben?
Wenn [mm] d_{90} [/mm] die Drehung um 90° um den Ursprung ist, ist [mm] d_{90}(\vektor{1//0})=\vektor{0//1}.
[/mm]
>
> Die vorhin gemeinte Formel war folgende:
> [mm]s_E(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1s_E(v_1)+a_2s_E(v_2)+a_3s_E(v_3)[/mm]
Die Spiegelung ist eine lineare Abbildung, und die Def. der Linearität wurde hier verwendet. Die [mm] a_i [/mm] sind reelle zahlen.
Hier steht, daß Du den Funktionswert von Linearkombinationen mithilfe der Funktionswerte der verwendeten Basisvektoren errechnen kannst.
Sie kannst Du aus der Kenntnis der Bilder der [mm] v_i [/mm] die Bilder der Standardbasisvektoren bekommen, welche Du für die Matrix brauchst.
Vielleicht habt Ihr alles ganz anders gemacht. Da Du bisher nichts weiter von dem, was Ihr gelernt habt bzw. gelernt haben solltet, vorgemacht hast, weiß ich halt nicht, was Du Dir so vorstellst.
Na gut, versucen wir's mal anders, da "Abbildung" und "lineare Abbildung" Dir unbekannt zu sein scheinen - was Du dann mit der Abbildungsmatrix willst, ist mir nicht ganz klar, aber ich sag Dir trotzdem noch einen Weg, wie Du sie auch finden kannst.
In den Spalten der gesuchten Matrix müssen die Vektoren Stehen, auf die die Standardbasisvektoren [mm] e_i [/mm] abgebildet werden, also die Ergebnisse der Speigelung der drei Einheitsvektoren.
Du kannst nun natürlich auch durchs Berechnen von Lotfußpunkt usw. für jeden Vektor seinen Spiegelvektor aufstellen. Dann in eine Matrix schreiben, fertig. (Das funktioniert, weil Deine Ebene durch den Ursprung geht-im Gegensatz zu der Ebene des Autors des Eingangsposts.
LG Angela
> Allerdings resultiert das wohl daraus, dass ich bereits den
> Ansatz nicht wirklich durchdrungen habe.
>
> Ansonsten hätte ich versucht, den Ortsvektor vom Punkt P
> mit den Vektoren e1, e2 und e3 zu beschreiben.
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