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| Aufgabe | a) Gegeben sei eine Ebene E: [mm] n_{1}x [/mm] + [mm] n_{2}y [/mm] + [mm] n_{3}z [/mm] = 0 in Hessescher Normalform. Bestimmen Sie die Matrix S der Spiegelung an dieser Ebene bzgl. der Standardbasis des [mm] \IR^{3}!
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass für die Matrix gilt
[mm] S^{2} [/mm] = [mm] I_{3}, S^{tr} [/mm] = S = [mm] S^{-1} [/mm] und det S = -1!
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Hallo, ich verzweifle mal wieder (wie so oft) an elementarster Mathematik, ich habe zu Aufgabe a nicht mal annähernd eine Idee, falls sich jemand erbarmen würde, wäre ich euch sehr verbunden.
Aufgabe b ergibt sich ja....
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Gegeben sei eine Ebene E: [mm]n_{1}x[/mm] + [mm]n_{2}y[/mm] + [mm]n_{3}z[/mm] = 0
> in Hessescher Normalform. Bestimmen Sie die Matrix S der
> Spiegelung an dieser Ebene bzgl. der Standardbasis des
> [mm]\IR^{3}![/mm]
Hallo,
ich würde damit beginnen, die Matrix bzgl. einer bequemen Basis aufzustellen.
Man kann doch [mm] n:=\vektor{n_1 \\ n_2\\n_3} [/mm] durch [mm] a:=\vektor{a_1 \\ a_2\\a_3} [/mm] und [mm] b:=\vektor{b_1 \\ b_2\\b_3} [/mm] so zu einer Orthogonalbasis ergänzen, daß die darstellende Matrix bzgl. B:=(n,a,b) der Spiegelung [mm] \sigma [/mm] die Matrix
[mm] M:=\pmat{ -1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 1 &0} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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Die Antwort von angela.h.b. nützt nur dann etwas, wenn du die Bezugsbasis ändern darfst. Sie nimmt sozusagen vorweg, was wohl irgendwann in der Vorlesung noch gezeigt werden wird.
Da du aber mit der Standardbasis arbeiten sollst, mußt du anders vorgehen. Und zwar ganz so wie in der Schule, nur daß du nicht mit einer konkreten Ebene rechnest, sondern mit unbestimmten Koeffizienten. Mache dir zu den folgenden Ausführungen unbedingt eine Skizze (ohne geht es nicht!).
Mit
[mm]t = \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \, , \ \ n = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}[/mm]
lautet die Ebenengleichung (der fette Punkt bezeichnet das Skalarprodukt)
[mm]E: \ \ n \bullet t = 0[/mm]
(Weil ich den Bezeichner [mm]x[/mm] für den zu spiegelnden Punkt frei haben will, habe ich hier [mm]t[/mm] statt des sonst üblichen [mm]x[/mm] geschrieben.) Und jetzt betrachte die Gerade [mm]g[/mm], die auf [mm]E[/mm] senkrecht steht und durch den Punkt mit dem Ortsvektor
[mm]x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
geht. Mit Hilfe eines reellen Parameters [mm]\lambda[/mm] kann sie durch
[mm]g: \ \ t = x + \lambda \, n[/mm]
beschrieben werden. Setzt man [mm]t[/mm] aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein, erhält man den Parameterwert für den Ortsvektor [mm]f[/mm] des Schnittpunktes von [mm]g[/mm] und [mm]E[/mm] (Lotfußpunkt):
[mm]n \bullet \left( x + \lambda \, n \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda \left( n \bullet n \right) = -n \bullet x[/mm]
Die Sache wird übersichtlicher, wenn du den Normalenvektor normierst (Hessesche Normalform): [mm]n \bullet n = 1[/mm]. Denn dann lautet die letzte Gleichung einfach
[mm]\lambda = - n \bullet x[/mm]
Und damit geht es jetzt zurück in die Geradengleichung:
[mm]f = x - \left( n \bullet x \right) n[/mm]
Um nun den Ortsvektor [mm]y[/mm] des gespiegelten Punktes zu bestimmen, mußt du an [mm]f[/mm] noch den Vektor [mm]f - x[/mm] ansetzen:
[mm]y = f + (f - x) = 2f - x = 2 \left( x - \left( n \bullet x \right) \, n \right) - x = x - 2 \left( n \bullet x \right) \, n[/mm]
Und das ist die gesuchte Abbildungsvorschrift, nur nicht in Matrizenschreibweise. Um diese zu bekommen, mußt du den Vektor [mm]y[/mm] in seine drei Koordinaten aufspalten und kannst dann an den Koeffizienten von [mm]x_1[/mm] bzw. [mm]x_2[/mm] bzw. [mm]x_3[/mm] die gesuchte Matrix ablesen.
Wenn du alles richtig machst, bekommst du als Abbildungsmatrix
[mm]S = I - 2 n n'[/mm]
Hier meint [mm]I[/mm] die Einheitsmatrix und [mm]n'[/mm] den transponierten Vektor, also [mm]n[/mm] in Zeilenform. Das Matrizenprodukt [mm]n n'[/mm] ist also vom Typ "Spalte mal Zeile" und erzeugt eine quadratische Matrix.
Beachte, daß ich oben [mm]n \bullet n = 1[/mm] vorausgesetzt habe. Der allgemeine Fall läßt sich aber leicht auf diesen Spezialfall zurückführen.
Und noch ein Tip: Der rechnerische Nachweis von [mm]S^2 = I[/mm] (von der Anschauung her ist das sowieso klar: eine Spiegelung kehrt sich selber um), ist übrigens mit der obigen Formel ein Kinderspiel. Beachte: [mm]\left( nn' \right)^2 = n \left(n' n \right) n' = n \left( n \bullet n \right) n' = nn'[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 06.05.2007 | | Autor: | pejosh |
Also...erstmal hallo...ich bin auch in der Vorlesung...  ... und so weit hab ich das jetzt auch verstanden...was mir noch nicht so ganz klar ist...
Du sagtest ja...Leopold_Gast, dass man y in seine drei Koordinaten aufspalten soll...also
[mm]y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
Aber wie liest man an drei Koeffzienten eine 3x3 Matrix ab?
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Du mußt die Formel auf der rechten Seite in Koordinaten aufspalten: [mm]y = x - 2 \left( n \bullet x \right) n[/mm]. Du erhältst
[mm]y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_{11} x_1 + s_{12} x_2 + s_{13} x_3 \\ s_{21} x_1 + s_{22} x_2 + s_{23} x_3 \\ s_{31} x_1 + s_{32} x_2 + s_{33} x_3 \end{pmatrix} = Sx[/mm]
Und da kannst du die Koeffizienten der Matrix ablesen.
Es geht aber auch ganz ohne diese Aufspaltung, wenn man sich klarmacht, daß [mm]n \bullet x = n' x[/mm] ein Skalar oder gleichbedeutend eine 1×1-Matrix ist. Man kann dieses Matrizenprodukt daher auch hinter die Spalte [mm]n[/mm], die mit einer n×1-Matrix identifiziert wird, schreiben. Dann kann man folgendermaßen rechnen, indem man die Assoziativität und Distributivität der Matrizenmultiplikation ausnutzt:
[mm]y = x - 2 \left( n \bullet x \right) n = x - 2 \, n \left( n' x \right) = Ix - 2 \left( nn' \right) x = \left( I - 2nn' \right) x[/mm]
Das zeigt: [mm]S = I - nn'[/mm]
Obwohl ich jetzt doch eine Schnell-Lösung präsentiert habe, empfehle ich, die Sache oben mit der Aufspaltung in Koordinaten einmal vollständig hinzuschreiben. Das ist ein bißchen Arbeit, gibt einem aber ein Gefühl dafür, was da rechnerisch abläuft (und wie elegant der Matrizenkalkül das ausufernde Rechnen in Koordinaten verpackt).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 07.05.2007 | | Autor: | pejosh |
Also...erstmal vielen Dank...hab das jetzt soweit hinbekommen und auch für [mm]S=I_3-2nn'[/mm] raus.
Ich hab noch eine Frage zu der Hesseschen Normalform. Wir haben das weder in der Schule gemacht...noch anständig in der Uni...ich weiß, dass [mm]n \bullet n =1 [/mm] gilt. Aber das heißt ja nichts anderes als [mm]n_1 ^2+n_2 ^2+n_3 ^2=1[/mm]...kann ich daraus jetzt irgendwas für diese Identitäten ableiten?oder kann ich nicht über z.B. [mm]n_1n_2[/mm] aussagen?
Oder kann ich die Berechnung von [mm]S^2=I_3[/mm] irgendwie anders machen?...ansonsten gibt das was fieses mit ganz vielen [mm]n_1, n_2 ~ und ~ n_3[/mm]...
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Zunächst einmal kannst du jede Ebenengleichung sofort in HNF überführen, indem du sie durch die Wurzel der Quadratesumme der Koeffizienten dividierst. Beispiel:
[mm]E: \ \ 4x_1 - x_2 + 8x_3 = -9[/mm]
Quadratesumme: [mm]4^2 + (-1)^2 + 8^2 = 81, \ \sqrt{81} = 9[/mm]
[mm]E: \ \ \frac{4}{9} \, x_1 - \frac{1}{9} \, x_2 + \frac{8}{9} \, x_3 = -1[/mm]
Und hier gilt jetzt: [mm]\left( \frac{4}{9} \right)^2 + \left( - \frac{1}{9} \right)^2 + \left( \frac{8}{9} \right)^2 = 1[/mm]. Die letzte Gleichung stellt also eine HNF der Ebene dar (die andere HNF erhältst du durch Änderung sämtlicher Vorzeichen). Der Vorteil der HNF zeigt sich bei Abstandsberechnungen eines Punktes zu einer Ebene. Ansonsten kenne ich keine Vorzüge.
In der konkreten Aufgabe mußt du nicht [mm]n \bullet n = 1[/mm] voraussetzen. Dann heißt es halt
[mm]\lambda = - \frac{n \bullet x}{n \bullet n}[/mm]
Die Rechnung geht ansonsten wie gehabt, nur daß du überall noch den skalaren Faktor [mm]\frac{1}{n \bullet n}[/mm] mit durchziehen mußt. Probiere das selbst aus.
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