Sphäre in R^3 < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 12.11.2013 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Es sei [mm] S^2 [/mm] ={ [mm] {\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}\in\IR^3}: x1^2+x2^2+x3^2=1 [/mm] } die Sphäre in [mm] \IR^3 [/mm] und v1, v2 seien zwei orthogonalen Vektoren auf [mm] S^2, [/mm] d.h. v1, v2 [mm] \in S^2 [/mm] mit <v1,v2>=0.
a) Zeigen Sie, dass v1, v2 linear unabhängig sind.
b) Es sei E = [mm] \IR [/mm] v1 + [mm] \IR [/mm] v2. Zeigen Sie: [mm] E\cap S^2 [/mm] = {t1v1 + t2v2 : t1, [mm] t2\in \IR, t1^2 [/mm] + [mm] t2^2 [/mm] =1 } |
Guten Abend!
a) Wäre es richtig wenn man sagt, dass v1 und v2 beispielsweise die x-Achse und die Y-Achse wären? So wäre die Bedingung <v1, v2>= 0 erfüllt und diese würden auch orthogonal auf der Sphäre liegen.
Oder könnte man dies auch rechnerisch herleiten? Wenn ja, wie genau geht man da vor?
b) Wenn man nun ausgeht von a), dass v1 und v2 wieder die Achsen darstellen, dann würden die Ebene v1v2 eine Durchschnittsmenge von 1/4 mit der Sphäre im 2-Dim enthalten. Kann man die Aufgabe auch wieder so "Skizziert" belegen oder ist eine Rechnung dazu nötig ?
MfG Sim
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> a) Wäre es richtig wenn man sagt, dass v1 und v2
> beispielsweise die x-Achse und die Y-Achse wären?
Hallo,
nein.
Du hättest mit [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] zwar 2 orthogonale Vektoren aus [mm] S_2 [/mm] gefunden, aber da gibt es ja viel mehr und allgemeinere Möglichkeiten.
Du mußt das völlig allgemein lösen.
Seien also [mm] v_1,v_2\in S^2 [/mm] mit [mm] =0.
[/mm]
Wenn Du zeigen willst, mußt Du vorrechnen,
daß aus [mm] r*v_1+s*v_2=0 [/mm] folgt, daß r=s=0.
Das Skalarprodukt hilft...
LG Angela
>
So wäre
> die Bedingung <v1, v2>= 0 erfüllt und diese würden auch
> orthogonal auf der Sphäre liegen.
> Oder könnte man dies auch rechnerisch herleiten? Wenn ja,
> wie genau geht man da vor?
>
> b) Wenn man nun ausgeht von a), dass v1 und v2 wieder die
> Achsen darstellen, dann würden die Ebene v1v2 eine
> Durchschnittsmenge von 1/4 mit der Sphäre im 2-Dim
> enthalten. Kann man die Aufgabe auch wieder so "Skizziert"
> belegen oder ist eine Rechnung dazu nötig ?
>
> MfG Sim
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Hallo,
Aufgabe Nr. 1 kannst du auch wie folgt angehen:
Angenommen die Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind lin. abhängig. Dann gilt [mm] v_1=\alpha v_2 [/mm] für ein [mm] \alpha\in\IR. [/mm] Dies ist eine logische Folgerung aus der Antwort von Angela.
Da die Vektoren orthogonal sind, soll gelten: [mm] 0=\langle{v_1},{v_2}\rangle.
[/mm]
Nun gilt aber mit [mm] v_2\not=0:
[/mm]
[mm] 0=\langle{\alpha v_2},{v_2}\rangle=\alpha\underbrace{\langle{v_2},{v_2}\rangle}_{>0} \Rightarrow 0=\alpha. [/mm]
Widerspruch.
Also sind die Vektoren doch lin. unabhängig.
Das witzige: Wir haben hier nicht einmal benutzt, dass es sich um Vektoren auf der Sphäre handelt. Die Aussage gilt also allgemein für Vektoren. Dass man hier den Nullvektor ausschließt sollte klar sein. In dieser Hinsicht nutzt man zumindest ein klein bisschen die Sphäre. Man könnte also hinzufügen: Da [mm] v_2\in S^2 [/mm] folgt, dass [mm] v_2\not=0.
[/mm]
Grüße.
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