Spezifische Frage zu Summen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 19.08.2013 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | (a) Zeige: [mm] \summe_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k} [/mm] = [mm] (a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] ) / (a-b)
(b) Schreibe gemäß a) als Summe:
1) [mm] (a^{3} [/mm] - [mm] b^{3}) [/mm] / (a-b)
2) [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] y^{3}) [/mm] / (x+y) |
Halli Hallo allerseits, liebe Community! :)
Vorerst möchte ich mich vorstellen. Ich bin Christian und habe mein Abitur vor 2 Monaten bestanden. Ich möchte gerne Mathematik studieren, tue mir jedoch leider etwas schwer im Bereich Summen, den Grund in Betracht ziehend, dass ich das Thema nie in der Schule hatte und es mir somit selber erarbeiten muss.
Könnt ihr mir ein wenig unter die Arme greifen und mir bei dieser Aufgabe helfen? ;)
Den Beweis für (a) habe ich einwandfrei geliefert, bei Aufgabe b) bin ich mir jedoch nicht sicher. Nummer 1 aus b) müsste wie folgt lauten:
[mm] \summe_{k=0}^{n=3} a^{k} b^{n-k}
[/mm]
Bei Nummer 2 komme ich jedoch auf überhaupt keinen Lösungsweg!
Könnt ihr mir helfen? Ich wäre euch wirklich sehr dankbar! :)
Beste Grüße,
X3nion aka ~Chriss
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 19.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (a) Zeige: [mm]\summe_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}=(a^{n+1}-b^{n+1}) / (a-b)[/mm]
>
> (b) Schreibe gemäß a) als Summe:
> 1) [mm](a^{3}[/mm] - [mm]b^{3})[/mm] / (a-b)
> 2) [mm](x^{3}[/mm] + [mm]y^{3})[/mm] / (x+y)
> Halli Hallo allerseits, liebe Community! :)
>
> Vorerst möchte ich mich vorstellen. Ich bin Christian und
> habe mein Abitur vor 2 Monaten bestanden. Ich möchte gerne
> Mathematik studieren, tue mir jedoch leider etwas schwer im
> Bereich Summen, den Grund in Betracht ziehend, dass ich das
> Thema nie in der Schule hatte und es mir somit selber
> erarbeiten muss.
das wird Dir im Studium bei vielem so gehen, dass Du es selbst erarbeiten
musst. Zu Deiner Beruhigung: Das ist nur Übungssache - vor allem kannst
Du auch vieles erstmal besser verstehen, wenn Du es mit der [mm] $\ldots$-Schreibweise
[/mm]
ausschreibst. Das ist jedenfalls so meine Erfahrung!
> Könnt ihr mir ein wenig unter die Arme greifen und mir
> bei dieser Aufgabe helfen? ;)
>
> Den Beweis für (a) habe ich einwandfrei geliefert,
Magst Du ihn vorführen? Am Elegantesten geht das mit
[mm] $(a-b)*\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=\left(a*\sum_{...}^{...}...\right) [/mm] - [mm] \left(b*\sum_{...}^{...}...\right) [/mm] = ...$
> bei
> Aufgabe b) bin ich mir jedoch nicht sicher. Nummer 1 aus b)
> müsste wie folgt lauten:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n=3} a^{k} b^{n-k}[/mm]
Nein - nicht ganz. Schau' nochmal in die Formel: Hier ist [mm] $n\red{\;+1\;}=3\,.$ [/mm]
Außerdem kannst Du dann alle Summanden auch hinschreiben!
> Bei Nummer 2 komme ich jedoch auf überhaupt keinen
> Lösungsweg!
> Könnt ihr mir helfen? Ich wäre euch wirklich sehr
> dankbar! :)
Na, für alle [mm] $\tilde{a} \not=\tilde{b}$ [/mm] ist
[mm] $\frac{{\tilde{a}}^3-{\tilde{b}}^3}{\tilde{a}-\tilde{b}}={\tilde{a}}^0{\tilde{b}}^2+\tilde{a}\tilde{b}+{\tilde{a}}^2{\tilde{b}}^0={\tilde{b}}^2+\tilde{a}\tilde{b}+{\tilde{a}}^2.$
[/mm]
(Ups... welche Aufgabe hab' ich Dir jetzt im Prinzip abgenommen?)
(Edit: Auch, wenn es nicht wesentlich war, habe ich dennoch mal alle
Summanden "in die richtige Reihenfolge" gebracht!)
Betrachte dabei einfach [mm] $\tilde{a}:=a$ [/mm] und [mm] $\tilde{b}:=\,\red{-}\;b.$
[/mm]
(Denn: [mm] $a^3+b^3=a^3-(-b)^3=...$)
[/mm]
P.S. Entschuldige den Buchstabenwirrwarr bei der letzten Aufgabe. Natürlich
kannst Du einfach auch entsprechendes einfach mit den Buchstaben x und
y hinschreiben, damit die Formel genau(er) zur Aufgabe passt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mo 19.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hey Marcel!
Vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort! ;)
Na logisch führe ich meine Überlegungen einmal vor!
[mm] \summe_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}=(a^{0}b^{n}) [/mm] + [mm] (a^{1}b^{n-1}) [/mm] + [mm] (a^{2}b^{n-2}) [/mm] + ... + [mm] (a^{n}b^{n-n})
[/mm]
Sn = 1 * [mm] b^{n} [/mm] + [mm] (ab^{n-1}) [/mm] + [mm] (a^{2}b^{n-2}) [/mm] + ... + [mm] (a^{n}b^{n-n})
[/mm]
Einmal multipliziere ich nun die Summe mit a, und einmal mit b:
a * Sn = a * [mm] b^{n} [/mm] + [mm] (a^{2}b^{n-1}) [/mm] + [mm] (a^{3}b^{n-2}) [/mm] + ... + [mm] (a^{n+1}b^{n-n})
[/mm]
b * Sn = 1 * [mm] b^{n+1} [/mm] + [mm] (a^{1}b^{n}) [/mm] + [mm] (a^{2}b^{n-1}) [/mm] + ... + [mm] (a^{n}b^{1})
[/mm]
Subtrahiere ich nun b von a, so kürzen sich einige Faktoren raus und es bleibt folgendes übrig:
a * Sn - b * Sn = [mm] a^{n+1}b^{n-n} [/mm] - 1 * [mm] b^{n+1} [/mm]
Sn (a-b) = [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm]
Sn = [mm] (a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1}) [/mm] / (a-b)
Entschuldige mich, natürlich lautet es wie folgt ... ist die Konzentrationsschwäche zu späterer Stunde ;)
[mm] \summe_{k=0}^{n=2} a^{k} b^{n-k}
[/mm]
Vielen Dank für den Trick!! Ich hatte schon überlegt es muss etwas mit dem Minus sein, aber darauf bin ich noch nicht gekommen!
Wenn ich noch Fragen habe, darf ich mich dann bei dir melden?
Du schaffst es gut mich auf den letzten Funken Gedanken zu bringen um die Thematik zu verstehen! ;)
Gruß Chriss!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 20.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chris,
> Hey Marcel!
>
> Vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort! ;)
> Na logisch führe ich meine Überlegungen einmal vor!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}=(a^{0}b^{n})[/mm] + [mm](a^{1}b^{n-1})[/mm]
> + [mm](a^{2}b^{n-2})[/mm] + ... + [mm](a^{n}b^{n-n})[/mm]
>
> Sn = 1 * [mm]b^{n}[/mm] + [mm](ab^{n-1})[/mm] + [mm](a^{2}b^{n-2})[/mm] + ... +
> [mm](a^{n}b^{n-n})[/mm]
>
> Einmal multipliziere ich nun die Summe mit a, und einmal
> mit b:
>
> a * Sn = a * [mm]b^{n}[/mm] + [mm](a^{2}b^{n-1})[/mm] + [mm](a^{3}b^{n-2})[/mm] + ...
> + [mm](a^{n+1}b^{n-n})[/mm]
>
> b * Sn = 1 * [mm]b^{n+1}[/mm] + [mm](a^{1}b^{n})[/mm] + [mm](a^{2}b^{n-1})[/mm] + ...
> + [mm](a^{n}b^{1})[/mm]
>
> Subtrahiere ich nun b von a, so kürzen sich einige
> Faktoren raus und es bleibt folgendes übrig:
achte auf die Sprache: "Es heben sich einige Summanden zu Null weg!" oder
sowas kannst Du sagen. Da kürzen sich nämlich keine Faktoren  .
> a * Sn - b * Sn = [mm]a^{n+1}b^{n-n}[/mm] - 1 * [mm]b^{n+1}[/mm]
> Sn (a-b) = [mm]a^{n+1}[/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm]
> Sn = [mm](a^{n+1}[/mm] - [mm]b^{n+1})[/mm] / (a-b)
Prinzipiell ist das alles okay (und ein absolut vollwertiger Beweis). Ich
rechne Dir das ganze aber mal mit der Eleganz des Summenzeichens vor
(manche Klammern könnte ich mir im Folgenden auch sparen):
[mm] $(a-b)*\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=\left(a*\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}\right)-\left(b*\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}\right)=\left(\sum_{k=0}^n a^{k+1}b^{n-k}\right)-\left(\sum_{k=0}^n a^k b^{n+1-k}\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum_{\ell=1}^{n+1} a^{\ell}b^{n+1-\ell}\right)-\left(\sum_{k=0}^n a^k b^{n+1-k}\right)=\left\{\red{\left(\sum_{\ell=1}^{n} a^{\ell}b^{n+1-\ell}\right)}+a^{n+1}b^0\right\}-\left\{a^0b^{n+1}+\red{\left(\sum_{k=1}^n a^k b^{n+1-k}\right)}\right\}$
[/mm]
Na, wie geht's wohl zu Ende?
> Entschuldige mich, natürlich lautet es wie folgt ... ist
> die Konzentrationsschwäche zu späterer Stunde ;)
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n=2} a^{k} b^{n-k}[/mm]
[mm] $=\sum_{k=0}^{n=2} a^k b^{\red{2}\,-\,k}.$
[/mm]
Genau - trotzdem auch [mm] $=b^2+ab+a^2$ [/mm] noch hinschreiben!
> Vielen Dank für den Trick!! Ich hatte schon überlegt es
> muss etwas mit dem Minus sein, aber darauf bin ich noch
> nicht gekommen!
>
> Wenn ich noch Fragen habe, darf ich mich dann bei dir
> melden?
Natürlich - aber ich gehe gleich schlafen. Von daher am Besten einfach ins
Forum schreiben. Wenn ich dann wach bin, kann ich antworten, ansonsten
auch jemand anderes. Das ist ja das Gute an einem solchen Forum!
> Du schaffst es gut mich auf den letzten Funken Gedanken zu
> bringen um die Thematik zu verstehen! ;)
Na dann probiere jetzt mal folgendes:
Beweise
[mm] $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q},$
[/mm]
indem Du nur mit dem Summenzeichen rechnest und anfängst mit
[mm] $(1-q)*\sum_{k=0}^n q^k=...$
[/mm]
P.S. Auf einem Schmierzettel darfst Du natürlich sowas schreiben:
[mm] $1*(1+q+...+q^n)=(1+q+...+q^n)=\sum_{k=0}^n q^k$
[/mm]
[mm] $q*(1+q+...+q^n)=(q+q^2+...+q^n+q^{n+1})=\sum_{k=1}^{n+1} q^k$
[/mm]
Das kann Dir helfen, um herauszufinden, wie man das mit dem
Summenzeichen hinbekommt...
P.S. Bei den Aufgaben sollte man $a [mm] \not=b$ [/mm] und $q [mm] \not=1$ [/mm] fordern!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 20.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo Hallo!
Alles klar, hier nun meine Variante des Beweises:
[mm] \sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
-> (1-q) * [mm] \sum_{k=0}^n q^k [/mm] = [mm] \green{1-q^{n+1}}
[/mm]
<-> [mm] \sum_{k=0}^n q^k [/mm] - q * [mm] \sum_{k=0}^n q^k
[/mm]
<-> [mm] \sum_{k=0}^n q^k [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^n q*q^k
[/mm]
<-> [mm] \sum_{k=0}^n q^k [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^n q^{k+1}
[/mm]
<-> [mm] \sum_{k=-1}^{n-1} q^{k+1} [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^n q^{k+1}
[/mm]
<-> [mm] q^0 [/mm] + [mm] \red{\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1}} [/mm] - [mm] (q^{n+1} [/mm] + [mm] \red{\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1}} [/mm] )
<-> [mm] \green{1 - q^{n+1}}
[/mm]
q.e.d. :)
So langsam komme ich in dem mir unbekannt gewesenen Gebiet in Fahrt!! ;) Du hast Recht, mit dem Summenzeichen sieht es viel eleganter aus und es macht auch sehr viel mehr Spaß so zu rechnen!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 20.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Hallo!
>
> Alles klar, hier nun meine Variante des Beweises:
>
> [mm]\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> -> (1-q) * [mm]\sum_{k=0}^n q^k[/mm] = [mm]\green{1-q^{n+1}}[/mm]
hier müßtest Du [mm] $\iff$ [/mm] schreiben, und vor allem bräuchtest Du die Folgerung [mm] "$\Longleftarrow$"
[/mm]
dabei (welche nur für $q [mm] \not=1$ [/mm] geht).
(Wenn Du eine Aussage [mm] $B\,$ [/mm] beweisen willst, dann kannst Du das tun,
indem Du eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] und die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ beweist.
[mm] $B\,$ [/mm] ist aber nicht bewiesen, wenn Du [mm] $A\,$ [/mm] und $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ beweist.
Was Du noch machen könntest, wäre, [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $\red{(\neg B)} \Rightarrow \red{(\neg A)}$ [/mm] (Kontraposition!)
beweisen. Allgemeiner: Lies auch etwa mal hier (klick!))
> <-> [mm]\sum_{k=0}^n q^k[/mm] - q * [mm]\sum_{k=0}^n q^k[/mm]
>
> <-> [mm]\sum_{k=0}^n q^k[/mm] - [mm]\sum_{k=0}^n q*q^k[/mm]
>
> <-> [mm]\sum_{k=0}^n q^k[/mm] - [mm]\sum_{k=0}^n q^{k+1}[/mm]
>
> <-> [mm]\sum_{k=-1}^{n-1} q^{k+1}[/mm] - [mm]\sum_{k=0}^n q^{k+1}[/mm]
>
> <-> [mm]q^0[/mm] + [mm]\red{\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1}}[/mm] - [mm](q^{n+1}[/mm] +
> [mm]\red{\sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1}}[/mm] )
>
> <-> [mm]\green{1 - q^{n+1}}[/mm]
>
> q.e.d. :)
Uhhh, da gehören die "<->" aber durch Gleichheitszeichen ersetzt. Oder
Du musst halt bei den [mm] "$\iff$" [/mm] (die Du als "<->" schreibst) danach noch
eine Gleichung jeweils vervollständigen. Wenn Du das getan hast: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Mal beispielhaft: Sowas wie
$2*(3+x)-x=7$
[mm] $\iff$ [/mm] $6+2x-x$
[mm] $\iff$ [/mm] $6+x$
macht keinen Sinn; $A [mm] \iff [/mm] B$ bedeutet, dass aus der Gültigkeit von [mm] $A\,$ [/mm] die
Gültigkeit von [mm] $B\,$ [/mm] folgt sowie, dass aus der Gültigkeit von [mm] $B\,$ [/mm] die Gültigkeit
von [mm] $A\,$ [/mm] folgt; nun ist aber etwa [mm] $6+x\,$ [/mm] gar keine Aussage...
Also entweder müßte man das so schreiben
$2*(3+x)-x=7$
[mm] $\iff$ $6+2x-x\red{\;=\;7}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $6+x\red{\;=\;7}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] ...,
oder etwa
$2*(3+x)-x=6+2x-x=6+x=7 [mm] \iff [/mm] x=1...$
Obiges hast Du sicher auch eher so gemeint:
[mm]\underbrace{(1-q) * \sum_{k=0}^n q^k}_{=\sum_{k=0}^n q^k-\sum_{k=0}^n q^{k+1}=...} = \green{1-q^{n+1}}[/mm]
Achte aber bitte auf einen sauberen Aufschrieb - sonst bekommst Du für
"inhaltlich absolut korrekte Lösungen" wenig Punkte, weil das, was Du
geschrieben hast, "Unsinniges" aussagt.
(Als ich Korrekteur war, habe ich das den Leuten "anerzogen", indem ich
Ihnen dafür nur die Hälfte der Punkte gab. Wenn ich ganz fies hätte sein
wollen, hätte ich auch gar keine Punkte dafür geben können. So haben
sie aber gelernt: "Ich mache alles richtig und bin dennoch gerade so am
Durchkommen..." (weil man die Hälfte der Pkte. brauchte, um zur Klausur
zugelassen zu werden) und ärgerten sich anscheinend so sehr darüber,
dass sie es ganz schnell gelernt hatten, plötzlich immer sauberere Lösungen
abzugeben. Später waren die teilweise genauso gut oder gar besser wie
manch' eine Musterlösung... Diese "Schlampigkeit" muss man im Studium
ablegen; da geht's nicht nach dem Motto, dass andere schon wissen
sollten, was man meine. Es geht nach dem Motto: Wenn ich selbst weiß,
was ich tue, dann sollte ich es auch so aufschreiben können, dass jede(r)
das Ganze, ohne großen Interpretationsspielraum, auch nachvollziehen
kann!)
> So langsam komme ich in dem mir unbekannt gewesenen Gebiet
> in Fahrt!! ;) Du hast Recht, mit dem Summenzeichen sieht
> es viel eleganter aus und es macht auch sehr viel mehr
> Spaß so zu rechnen!! :)
Eben - es ist elegant und übersichtlich. Aber durchaus gewöhnungsbedürftig.
(Und Rechnungen mit dem Produktzeichen gehen später analog. Eigentlich
nehmen die sich ja nicht wirklich viel - im Prinzip kann man da auch andere
Verknüpfungen mit solchen Symbolen abkürzen...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 21.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Okay, die richtige Schreibweise muss ich mir auf jeden Fall angewöhnen!
Es scheint dass du ein eher sanfterer Korrekteur gewesen bist, der versucht hat, auf eben deine Art und Weise die Leute zur richtigen Schreibweise zu bringen, anstatt ihnen keinen Punkt dafür zu geben!
Ich rechne gerade Aufgaben von einem Mathematik-Vorkurs an einer Universität nach.
Ich scheitere momentan etwas an dieser Aufgabe:
1) Berechne für n [mm] \in \IN [/mm] den Ausdruck 3 [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3} [/mm] - [mm] k^3) [/mm] und zeige damit:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \fraq{n(n+1)(2n+1)} [/mm] / 6
Soweit komme ich bisher:
3 [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3} [/mm] - [mm] k^3)
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} 3k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (k^3 [/mm] - [mm] 3k^2 [/mm] + 3k - 1 - [mm] k^3)
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} 3k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( - [mm] 3k^2 [/mm] + 3k - 1)
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (3k^2 [/mm] - [mm] 3k^2 [/mm] + 3k - 1)
= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (3k - 1)
= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 3k - [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1
= 3 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k - [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1
Nun die Gauß'sche Summenformel links angewandt:
= 3 {n(n+1)} / 2 - n
= 3/2 n² + 3/2 n - n
= 3/2 n² + 1/2 n
Nun komme ich jedoch nicht auf die Idee, wie ich den zweiten Teil der Aufgabe beweisen soll.
Kannst du mir da wieder etwas auf die Sprünge helfen?
Gruß Chris!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Okay, die richtige Schreibweise muss ich mir auf jeden Fall
> angewöhnen!
> Es scheint dass du ein eher sanfterer Korrekteur gewesen
> bist, der versucht hat, auf eben deine Art und Weise die
> Leute zur richtigen Schreibweise zu bringen, anstatt ihnen
> keinen Punkt dafür zu geben!
>
> Ich rechne gerade Aufgaben von einem Mathematik-Vorkurs an
> einer Universität nach.
>
> Ich scheitere momentan etwas an dieser Aufgabe:
>
> 1) Berechne für n [mm]\in \IN[/mm] den Ausdruck 3 [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
Ich vermute, dass hier ein Tippfehler vorliegt.
Berechne:
[mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
auf 2 Arten. Dazu sei [mm] S_1:=\summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] und [mm] S_2:=[/mm] [mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
1. Art: mach es, wie Du es unten gemacht hast. Dan solltest Du bekommen:
(1) [mm] S_2 =6S_1+3*\bruch{n(n+1)}{2}+n
[/mm]
2. Art:
Überlege Dir, das $ [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3} [/mm] $ - $ [mm] k^3)=(n+1)^3-1 [/mm] $ ist
Damit ist
(2) [mm] S_2=3S_1+(n+1)^3-1.
[/mm]
Mit den Gleichungen (1) und (2) kannst Du nun [mm] S_1 [/mm] berechnen.
FRED
> und zeige damit:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\fraq{n(n+1)(2n+1)}[/mm] / 6
>
> Soweit komme ich bisher:
>
> 3 [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3}[/mm] -
> [mm]k^3)[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} 3k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} (k^3[/mm] - [mm]3k^2[/mm] + 3k
> - 1 - [mm]k^3)[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} 3k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] ( - [mm]3k^2[/mm] + 3k -
> 1)
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} (3k^2[/mm] - [mm]3k^2[/mm] + 3k - 1)
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (3k - 1)
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 3k - [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1
>
> = 3 [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k - [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1
>
> Nun die Gauß'sche Summenformel links angewandt:
>
> = 3 {n(n+1)} / 2 - n
>
> = 3/2 n² + 3/2 n - n
>
> = 3/2 n² + 1/2 n
>
>
> Nun komme ich jedoch nicht auf die Idee, wie ich den
> zweiten Teil der Aufgabe beweisen soll.
> Kannst du mir da wieder etwas auf die Sprünge helfen?
>
> Gruß Chris!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 22.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
@fred97: Wie kommst du bei (1) auf [mm] S_2 =6S_1+3\cdot{}\bruch{n(n+1)}{2}+n [/mm] bzw. bei (2) darauf, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3} [/mm] - [mm] k^3 =(n+1)^3-1 [/mm] ist?
Es ist ein neues Themengebiet für mich, deshalb erscheint es mir noch ein wenig schwierig, in der Materie gleich durchblicken zu können ;)
@Marcel: Es ist wahrlich sehr interessant, einmal die Unterschiede zwischen Mathematikern und Physikern anzuschauen!
Dieses interessante Phänomen konnte ich bei einem befreundeten Physiker von mir in Erfahrung bringen!
Falls fred97 meine Frage nicht beantworten sollte, könntest du dann eventuell auf sie antworten?
Gruß Christian!
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> Hallo zusammen!
>
> @fred97: Wie kommst du bei (1) auf [mm]S_2 =6S_1+3\cdot{}\bruch{n(n+1)}{2}+n[/mm]
> bzw. bei (2) darauf, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] -
> [mm]k^3 =(n+1)^3-1[/mm] ist?
Hallo,
es geht um die Berechnung von [mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k\red{+}1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm] .
(1)
Es ist
[mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
=[mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k^3+3k^2+3k+1)[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
=[mm]3\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} (3k^2+3k+1)[/mm]
[mm] =3\summe_{k=1}^{n} k^2+3\summe_{k=1}^{n} k^2+3\summe_{k=1}^{n} [/mm] k+ [mm] \summe_{k=1}^{n}1
[/mm]
[mm] =6\summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] 3*\green{\bruch {n(n+1)}{2}} [/mm] + n.
grün: Gaußsche Summenformel
(2)
Es ist
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3} [/mm] $ - $ [mm] k^3)$
[/mm]
=$ [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}) [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3) [/mm] $
=$ [mm] \summe_{k=2}^{n+1} (k^{3}) [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3) [/mm] $
=($ [mm] \summe_{k=2}^{n} (k^{3}) +(n+1)^3$ [/mm] )- $ [mm] (1^3+\summe_{k=2}^{n}k^3))$
[/mm]
[mm] =(n+1)^3-1
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 22.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo angela.h.b!
Kurze Bemerkung auch an dich fred97: es heißt de facto [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3} [/mm] - [mm] k^3 [/mm] und nicht
[mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3} [/mm] - [mm] k^3 [/mm] ! ;)
Auf dem Aufgabenblatt steht es so und ich gehe auch von der Richtigkeit aus! ;)
Was meint ihr?! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 22.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo angela.h.b!
>
> Kurze Bemerkung auch an dich fred97: es heißt de facto
> [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3}[/mm] - [mm]k^3[/mm] und nicht
> [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] - [mm]k^3[/mm] ! ;)
Ich hab doch oben geschrieben, dass ich einen Tippfehler vermute.
>
> Auf dem Aufgabenblatt steht es so und ich gehe auch von der
> Richtigkeit aus!
Gewöhne Dich daran, dass es auch auf Aufgabenblättern Fehler (Tippfehler, Denkfehler, ect ...) haufenweise gibt ( und immer gegeben hat und immer geben wird).
De facto :
1. Mit [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k-1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm] funktioniert die Sache nicht, das hast Du doch selbst gesehen !
Wenn man das so ausrechnet, wie Du das oben gemacht hast, so kommt doch die Summe, um die es geht, nämlich
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2,
[/mm]
gar nicht mehr vor !!!!
2. Mit Mit [mm]\summe_{k=1}^{n} ((k+1)^{3}[/mm] - [mm]k^3)[/mm]
funktioniert alles bestens !
FRED
;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Fr 23.08.2013 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Also, meine Variante des Beweises sieht wie folgt aus:
Man nehme an, dass S1 = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k²
und S2 = 3 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² + [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^3 [/mm] - [mm] k^3) [/mm] ist.
S2 = 3 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² + [mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^3 [/mm] - [mm] k^3)
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 3k² + [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} 3k^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 3k + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 - [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3
[/mm]
= 6 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² + 3 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k + n
[1] S2 = 6 * S1 + (3 * n(n+1) / 2) + n
[mm] \summe_{k=1}^{n} ((k+1)^3 [/mm] - [mm] k^3) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (k+1)^3 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3
[/mm]
= [mm] \summe_{k=2}^{n+1} ((k-1)+1)^3 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3
[/mm]
= [mm] \summe_{k=2}^{n+1} k^3 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3
[/mm]
= [mm] (n+1)^3 [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n} k^3 [/mm] - [mm] (1^3 [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n} k^3)
[/mm]
= [mm] (n+1)^3 [/mm] - 1
Also ist:
[2] S2 = 3 * S1 + [mm] (n+1)^3 [/mm] - 1
Nun verrechne ich die Gleichungen [1] und [2], indem ich sie gleichsetze:
6 * S1 + (3 * n(n+1) / 2) + n = 3 * S1 + [mm] (n+1)^3 [/mm] - 1
6 * S1 + (3/2) n² + (5/2) n = 3 * S1 + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1 - 1
6 * S1 + (3/2) n² + (5/2) n = 3 * S1 + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n
3 * S1 = [mm] n^3 [/mm] + (3/2) [mm] n^2 [/mm] + (1/2) n
S1 = [mm] [n^3 [/mm] + (3/2) [mm] n^2 [/mm] + (1/2) n] / 3
S1 = [mm] [2n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + n] / 6
Nun steht ja in der Aufgabe, man soll beweisen, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k² = [n(n+1)(2n+1)] / 6 ist.
[n(n+1)(2n+1)] / 6 = [(n² + n)(2n+1)] / 6 = [mm] [2n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + n] / 6
q.e.d.
Gruß
Christian! ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Do 22.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo!
>
> Okay, die richtige Schreibweise muss ich mir auf jeden Fall
> angewöhnen!
> Es scheint dass du ein eher sanfterer Korrekteur gewesen
> bist, der versucht hat, auf eben deine Art und Weise die
> Leute zur richtigen Schreibweise zu bringen, anstatt ihnen
> keinen Punkt dafür zu geben!
ich sehe es eher als "fair" an: Es war ja nicht meine Aufgabe (und das
hätte ich auch strikt abgelehnt), Leute "rauszufiltern". (Die Analogie ist
vielleicht nicht ganz passend, aber nur, weil jemand eine
Rechtschreibeschwäche hat, heißt das nicht, dass er nicht das Zeug zum
Schriftsteller hat; ebenso will ich keine Leute, die "es eigentlich können",
von der Mathematik abhalten, nur, weil sie noch lernen müssen, ihre
Gedanken sauber aufzuschreiben...)
Andererseits kann ich es einfach schlecht ignorieren, wenn die Leute ihre
Gedanken unsortiert und chaotisch aufschreiben.
(Ich selbst habe das teilweise in der Schule lange so praktiziert - und
glaube mir: Irgendwann fragt man sich selbst, was das, was man da
aufgeschrieben hat, eigentlich soll... und kommt zu der Erkenntnis: Wenn
das sinnvoll war, dann muss ich mir das nochmal zusammenbasteln und
es sauber zusammenschreiben...
Übrigens, ob das nun Kritik oder Lob ist, das weiß ich selbst nicht; aber mir
ist aufgefallen, dass vor allem Physiker die Kunst beherrschen, ihre evtl.
unsauberen und chaotischen (vielleicht wirkten sie auch einfach nur auf
mich so...?) Notizen schnell zu durchschauen. Ich fand das
hochinteressant, denn bei meiner letzten Arbeit habe ich viele der Sachen,
die ich von Maschinenbauern und Physikern gelernt habe, nochmal für mich
mathematisch sauber aufgeschrieben. Die Physiker schreiben z.B. etwas
hin, und bei mir stehen dann Bemerkungen dabei "Wir setzen voraus,
dass..." Ein Physiker liest sich das durch und sagt: "Jaja, ist richtig, aber
hier können wir eh davon ausgehen, dass die Funktionen glatt sind und ...
denn die Analogie ist doch folgender physikalischer Sachverhalt: ... und
da braucht man das halt auch...")
Gruß,
Marcel
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