Spezielle Lösung DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Gegebene ist die DGL $ [mm] \\dot [/mm] x (t) + 4 [mm] \dot [/mm] x (t) + 4x(t) = [mm] 2*e^{-2t} [/mm] $
a) Berechnen sie die allgmeine Lösung der homogenen Gleichung
Lösung $ [mm] \rightarrow [/mm] y(t) = [mm] C_1 [/mm] * [mm] e^{-2t} [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * t * [mm] e^{-t} [/mm] $
b) Ermitteln Sie eine spezielle Lösung der DGL vermöge der Variation der Konstanten |
Hi,
bei der b) stecke ich.
Habe angefangen mt
$ [mm] Y_1 [/mm] (t) = C* [mm] e^{-2t} \rightarrow [/mm] C = C(t) [mm] \rightarrow [/mm] Y' = C' (t) * [mm] e^{-2t} [/mm] -2* C(t) * [mm] e^{-2t} [/mm] $
$ Y'' = C'' (t) * [mm] e^{-2t} [/mm] - 2* C' (t) * [mm] e^{-2t} [/mm] -2*C' (t) * [mm] e^{-2t} [/mm] +4 C* [mm] e^{-2t} [/mm] $
Blöderweise gibt die Lösung aber etwas anderes vor und zwar
Seien $ [mm] y_1 [/mm] (t) = [mm] e^{-2t} [/mm] und [mm] y_2 [/mm] (t) = [mm] t*e^{-2t} [/mm] $
Ansatz : $ [mm] x_s [/mm] (t) [mm] =C_1 [/mm] (t) [mm] y_1 [/mm] (t) + [mm] C_2 [/mm] (t) [mm] y_2 [/mm] (t) $
$ [mm] \dot x_s [/mm] (t) = [mm] C_1 [/mm] (t) [mm] \dot y_1 [/mm] (t) + [mm] C_2 [/mm] (t) [mm] \dot y_2 [/mm] + [mm] \color{Red} \dot C_1 [/mm] (t) [mm] y_1 [/mm] (t) + [mm] \dot C_2 [/mm] (t) [mm] y_2 [/mm] (t) $
$ [mm] \ddot x_s [/mm] (t) = [mm] C_1 [/mm] (t) [mm] \ddot y_1 [/mm] (t) + [mm] C_2 [/mm] (t) [mm] \ddot y_2 [/mm] + [mm] \dot C_1 [/mm] (t) [mm] \dot y_1 [/mm] (t) + [mm] \dot C_2 [/mm] (t) [mm] \dot y_2 [/mm] (t) $
das $ [mm] \color{Red} \dot C_1 [/mm] (t) [mm] y_1 [/mm] (t) + [mm] \dot C_2 [/mm] (t) [mm] y_2 [/mm] (t) $ wird dann ausserdem mit einer geschweiften Klammer eingefasst
$ [mm] \overbrace{\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)}^{=0} [/mm] $ (über dem gleich ist noch ein Ausrufezeichen)
Was ich jetzt nicht verstehe:
1.) Warum wird hier ausser $ [mm] C_1 y_1 [/mm] $ auch noch [mm] $C_2y_2 [/mm] $ abgeleitet?
Ich dachte Variation der Konstanten ginge so wie ichs gemacht habe.
2.) Warum ist der eingefasste Ausdruck 0 ?
Wäre Super wenn ihr mir helfen könntet!
Grüße
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Hallo Nickles,
> Gegebene ist die DGL [mm]\\dot x (t) + 4 \dot x (t) + 4x(t) = 2*e^{-2t}[/mm]
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> a) Berechnen sie die allgmeine Lösung der homogenen
> Gleichung
> Lösung [mm]\rightarrow y(t) = C_1 * e^{-2t} + C_2 * t * e^{-t}[/mm]
>
> b) Ermitteln Sie eine spezielle Lösung der DGL vermöge
> der Variation der Konstanten
> Hi,
>
> bei der b) stecke ich.
>
> Habe angefangen mt
>
> [mm]Y_1 (t) = C* e^{-2t} \rightarrow C = C(t) \rightarrow Y' = C' (t) * e^{-2t} -2* C(t) * e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]Y'' = C'' (t) * e^{-2t} - 2* C' (t) * e^{-2t} -2*C' (t) * e^{-2t} +4 C* e^{-2t}[/mm]
>
> Blöderweise gibt die Lösung aber etwas anderes vor und
> zwar
>
> Seien [mm]y_1 (t) = e^{-2t} und y_2 (t) = t*e^{-2t}[/mm]
> Ansatz :
> [mm]x_s (t) =C_1 (t) y_1 (t) + C_2 (t) y_2 (t)[/mm]
> [mm]\dot x_s (t) = C_1 (t) \dot y_1 (t) + C_2 (t) \dot y_2 + \color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)[/mm]
>
> [mm]\ddot x_s (t) = C_1 (t) \ddot y_1 (t) + C_2 (t) \ddot y_2 + \dot C_1 (t) \dot y_1 (t) + \dot C_2 (t) \dot y_2 (t)[/mm]
>
>
> das [mm]\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)[/mm]
> wird dann ausserdem mit einer geschweiften Klammer
> eingefasst
>
> [mm]\overbrace{\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)}^{=0}[/mm]
> (über dem gleich ist noch ein Ausrufezeichen)
>
> Was ich jetzt nicht verstehe:
> 1.) Warum wird hier ausser [mm]C_1 y_1[/mm] auch noch [mm]C_2y_2[/mm]
> abgeleitet?
Weil Du bei einer DGL 2. Ordnung zwei Lösungen hast.
> Ich dachte Variation der Konstanten ginge so wie ichs
> gemacht habe.
>
> 2.) Warum ist der eingefasste Ausdruck 0 ?
>
Wenn Du die DGL 2. Ordnung in ein System
von DGLs 1. Ordnung umwandelst, dann
kannst Du das nachvollziehen.
>
> Wäre Super wenn ihr mir helfen könntet!
>
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> Weil Du bei einer DGL 2. Ordnung zwei Lösungen hast.
>
>
> > Ich dachte Variation der Konstanten ginge so wie ichs
> > gemacht habe.
Mhmm..ok erscheint mir schon sinnig..wenn ich aber dennoch fragen darf, wo ist dann der unterschied zu dem was leduart mir hier vorgeführt hat, in diesem artikel
https://matheraum.de/read?t=651415
(Leider hab ich keine Ahnung wie ich direkt n Zitat aus dem Artikel rausnehme)
> > 2.) Warum ist der eingefasste Ausdruck 0 ?
> >
>
>
> Wenn Du die DGL 2. Ordnung in ein System
> von DGLs 1. Ordnung umwandelst, dann
> kannst Du das nachvollziehen.
>
>
Werde ich gleich mal versuchen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du deine Variation der Konstanten machst, aber für die homogene DGL dann findest du die 2 te Lösung , wie in dem zitierten Teil, die ist aber hier schon gegeben (wie auch dort) mit [mm] t*e^{-2t}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> das mit der Var. der Konstanten ist unnötig aber eigentlich auch nicht > kompliziert.
> Bsp : y''-2y'+y=0 $ [mm] \lambda=1 [/mm] $
> $ [mm] y1=C\cdot{}e^x [/mm] $ C=C(x)
> $ [mm] y'=C'\cdot{}e^x+Ce^x [/mm] $
> $ [mm] y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x [/mm] $
> in Dgl einsetzen
> $ [mm] C''e^x+2C'e^x+Ce^x-2C'e^x-2Ce^x +Ce^x=0 [/mm] $ daraus
> C''=0 daraus
> C=C1*x+C2
> einsetzen ergibt $ [mm] y=(C1x+C2)\cdot{}e^x [/mm] $
habs jetzt mal versucht zu zitieren
also wenn ich nur $ [mm] y_1 [/mm] $ ableite, bekomme ich die 2te Lösung der homogenen Gleichung?
Wenn ich dagegen die komplette homogene Gleichung ableite bekomme ich die spezielle Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die komplette homogene Lösung mit C1(x), C2(x) in die Dgl einsetzt bekommst du ne DGL für die C und nach deren Lösen und einsetzen in C1y1+C2y2 die Gesamtlösung der inhomogenen Gl.
(Nochmal, das mit der 2. ten Lösung der hom bei doppelter nullstelle des char. pol. macht man normalerweise nicht. man weiss dass es t*y1 ist.)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
ok, super danke...jetzt muss ich nur noch verstehen warum dieser eine ausdruck gleich 0 ist..wie wandle ich denn eine dgl 2ter ordnung in ein system von dgls erster ordnung um?
Das hab ich glaub noch nie gemacht ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ihr das nicht gemacht habt, machs nicht jetzt. sonst einfach :
z1=y,z2=y'
und damit z1'=z2
z2'y'' aus der DGL
Dgl
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Naja scheinbar brauch ichs aber wohl um zu verstehen warum
$ [mm] \overbrace{\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)}^{=0} [/mm] $ ist.
Sonst scheint mir auch n einsetzen der homogenen Gleichung in die DGl mit den abgeleiteten Varianten der homogenen Gleichung auch extrem langwierig..allein die $ [mm] \ddot x_s [/mm] $ ist ja wenn man durch das $ [mm] \overbrace{\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)}^{=0} [/mm] $ den hinteren Teil nicht spart, fast 2 Zeilen lang.
Ist dann dieses umwandeln von $ [mm] \ddot [/mm] x (t) + 4 [mm] \dot [/mm] x + 4x(t) = [mm] 2*e^{-2t} [/mm] $
in der Richtung richtig?
$ [mm] \rightarrow z_1 [/mm] = x\ , [mm] z_2 =\dot [/mm] x\ , z'_1 = [mm] z_2\ [/mm] , z'_2 = [mm] \ddot [/mm] x $ und somit
$ z'_2 + 4 [mm] z_2 [/mm] + [mm] 4z_1 [/mm] = 0 $ ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
z1'= 0*z1 + z2
z''=-4*z1 [mm] -4z2+2e^{-2t}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
ohje sorry da blick ich jetzt gar nicht durch...inwiefern hilft mir denn das zum verständnis das $ [mm] \overbrace{\color{Red} \dot C_1 (t) y_1 (t) + \dot C_2 (t) y_2 (t)}^{=0} [/mm] $ ? des macht mich fertig 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ihr Systeme nicht behandelt habt hilfts einfach nix.
das ausrufezeichen über der 0 heisst vielleicht "kommt später"
oder "warum fragt ihr nie in der Vorlesung oder die Tutoren"
Jeder Studi, der Vorlesungen regelmäsig nacharbeitet, hat das Recht -auch dumme- Fragen in der Vorlesung zu stellen.
Das haben wir schon gemacht, und ich bin in ner viel autoritätsgläubigeren Zeit aufgewachsen.
Jetzt glaubs einfach mal. Wenn man dabei ne Lösung findet, die man dann durch Einsetzen bestätigen kann ist das auch ein Beweis.
Gruss leduart
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