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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Muss bei einer speziellen Funktion mehrere Sachen lösen. Aber ich kapier schon die a nicht und da das viele Punkte gibt, frage ich besser hier mal nach mit der Hoffnung, dass jemand mir helfen kann.
Also, erst die a)
Es geht um folgendes Funktion:
[mm] H_{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} \* e^{x^{2}} \bruch{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}
[/mm]
wobei x [mm] \varepsilon \IR [/mm] und n [mm] \varepsilon \IN_{0}
[/mm]
So, man soll nun [mm] H_{n}(x) [/mm] für n [mm] \le [/mm] berechnen und skizzieren. Also das ist der erste Teil der Aufgabe. Bitte nicht sagen, dass wäre total einfach (was es vermutlich ist), ich komm irgendwie nicht drauf. Stehen müsste da für n= 0 ja das hier z.B.
[mm] H_{0}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{0} \* e^{x^{2}} \bruch{d^{0}}{dx^{0}} e^{-x^{2}}
[/mm]
Aber wie rechne ich das aus? Für n=1 und n=2 und n=3 dasselbe Problem. Danke vielmals. Da ich momentan knapp an der Punktegrenze bin, könnte diese Aufgabe relevant sein, also danke sehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 28.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also die Funktion [mm] H_n(x) [/mm] ist unter dem Namen Hermitsche Polynome bekannt, siehe![[]](/images/popup.gif) hier. Dort sind die Funktionen auch für die ersten n ausgerechnet.
Ich kann das aber auch mal für n=1 und n=2 hier machen.
[mm] H_n(x)=(-1)^n*e^{x^2}*\br{d^n}{dx^n}e^{-x^2} [/mm] ist da Hermitsche Polynom n'ter Ordnung.
Für n=0 folgt
[mm] H_0(x)=(-1)^0*e^{x^2}\br{d^0}{dx^0}e^{-x^2}
[/mm]
Die 0'te Ableitung einer Funktion ist die Funktion selbst, also
[mm] H_0(x)=e^{x^2}*e^{-x^2}=1
[/mm]
[mm] H_1(x)=(-1)^1*e^{x^2}*\br{d}{dx}e^{-x^2}=-e^{x^2}*(-2xe^{-x^2})=2x
[/mm]
usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab mir grad mal die Quelle und natürlich deine Antwort durchgelesen. Die a) habe ich jetzt gut verstanden. Danke sehr dafür. bei der b) soll man nun zeigen, dass [mm] H_{n}(-x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} H_{n}(x) [/mm] gilt und man soll [mm] H_{n}(0) [/mm] für ungeradees n bestimmen. kannst du mir da vllt auch helfen. Tipps oder Ansätze sind auch ok, dann versuch ich, drauf zu kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 28.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde versuchen zu beweisen, das die Hermitschen Polynome mit geradem Index Polynome sind die nur gerade Exponenten haben und die mit ungeradem Index nur ungerade Exponenten [mm] \ge1 [/mm] haben.
Die Beispiele die Du ausgerechnet hast sind ja auch so.
Dann folgt [mm] H_n(0)=0 [/mm] sofort und auch [mm] H(-x)=(-1)^nH_n(x)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..wie soll man das jetzt beweisen? Klar, ich seh, was du meinst, aber wie zeigt man sowas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 28.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also am besten per Induktion. Zuerst ist die Behauptung
(*) [mm] \br{d^{2n+1}}{dx^{2n+1}}e^{-x^2}=e^{-x^2}\summe_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1} [/mm] mit [mm] a_{2k+1}\ne [/mm] 0 zu zeigen.
Wenn (*) gilt folgt [mm] H_{2n+1}(x)=(-1)^n\summe_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1} [/mm] und [mm] H_{2n+1}(x) [/mm] ist ein Polynom mit nur ungeraden Exponenten und Du kannst die beiden zu zeigenden Eigenschaften leicht zeigen.
Für n= 0 gilt [mm] \br{d}{dx}e^{-x^2}=e^{-x^2}(-2x) [/mm] und die Behauptung (*) gilt mit [mm] a_1=-2
[/mm]
Jetzt ist also obige Behauptung für n+1 zu zeigen, also (hier hatte sich in der ersten Version ein Fehler eingeschlichen)
[mm] \br{d^{2n+3}}{dx^{2n+3}}e^{-x^2}=\br{d^{2}}{dx^{2}}\br{d^{2n+1}}{dx^{2n+1}}e^{-x^2}=\br{d^{2}}{dx^{2}}\left[e^{-x^2}\summe_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1}\right]
[/mm]
Durch zweimaliges differenzieren kommst Du auf
[mm] \br{d^{2n+3}}{dx^{2n+3}}e^{-x^2}=e^{-x^2}*\left[\summe_{k=0}^{n}4a_{2k+1}x^{2k+3}+\summe_{k=0}^{n}(-2a_{2k+1})(2k+2)x^{2k+1}+\summe_{k=0}^{n}(-2a_{2k+1})(2k+1)x^{2k+1}+\summe_{k=0}^{n}a_{2k+1}(2k+1)2kx^{2k-1}\right]
[/mm]
Das ist jetz ein Polynom der Form wie in (*) angegeben, weil in der letzten Summe auch der Term mit [mm] x^{-1} [/mm] durch den Faktor 2k entfällt.
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