Spektrum kompakter Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgenden Satz lese ich im Werner Funktionalanalysis (S.221, Theorem VI.2.5):
Sei [mm] T\in [/mm] K(X).
a)...
b)...
c) Jedes [mm] \lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\} [/mm] ist ein Eigenwert von T, und der zugehörige Eigenraum [mm] ker(\lambda-T) [/mm] ist endlichdimenisonal. Ferner existiert eine topologisch direkte Zerlegung [mm] X=N(\lambda)\oplus R(\lambda) [/mm] mit [mm] T(N(\lambda))\subset N(\lambda), T(R(\lambda))\subset R(\lambda), [/mm] wobei [mm] N(\lambda) [/mm] endlichdimensional ist und [mm] ker(\lambda-T) [/mm] umfasst sowie [mm] (\lambda-T)|_{R(\lambda)} [/mm] ein Isomorphismus von [mm] R(\lambda) [/mm] nach [mm] R(\lambda) [/mm] ist.
d)...
[mm] \sigma(T) [/mm] meint hier das Spektrum von T, wobei T ein kompakter Operator ist. Der erste Satz von c) ist mir klar. Danach verstehe ich aber die Schreibweise nicht mehr (und ich finde in dem Buch auch keine Erklärung dieser Schreibweise). Was soll denn [mm] N(\lambda) [/mm] und [mm] R(\lambda) [/mm] sein? Und dementsprechend verstehe ich auch nicht, was [mm] T(N(\lambda)) [/mm] und [mm] T(R(\lambda)) [/mm] sein soll. (möglicherweise meint N den Kern und R das Bild irgendeiner Abbildung. Aber was soll die Abbildung [mm] \lambda [/mm] sein, wenn [mm] \lambda [/mm] doch ein Spektralwert ist?)
Kann mir irgendjemand erklären, was mit dieser Schreibweise gemeint ist?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 07.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> folgenden Satz lese ich im Werner Funktionalanalysis
> (S.221, Theorem VI.2.5):
>
> Sei [mm]T\in[/mm] K(X).
> a)...
> b)...
> c) Jedes [mm]\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}[/mm] ist ein
> Eigenwert von T, und der zugehörige Eigenraum
> [mm]ker(\lambda-T)[/mm] ist endlichdimenisonal. Ferner existiert
> eine topologisch direkte Zerlegung [mm]X=N(\lambda)\oplus R(\lambda)[/mm]
> mit [mm]T(N(\lambda))\subset N(\lambda), T(R(\lambda))\subset R(\lambda),[/mm]
> wobei [mm]N(\lambda)[/mm] endlichdimensional ist und [mm]ker(\lambda-T)[/mm]
> umfasst sowie [mm](\lambda-T)|_{R(\lambda)}[/mm] ein Isomorphismus
> von [mm]R(\lambda)[/mm] nach [mm]R(\lambda)[/mm] ist.
> d)...
Das hoert sich arg nach dem Spektralsatz fuer kompakte Operatoren an.
> [mm]\sigma(T)[/mm] meint hier das Spektrum von T, wobei T ein
> kompakter Operator ist. Der erste Satz von c) ist mir klar.
Wenn dir das klar ist, dann solltest du doch wissen, was [mm] $\lambda$ [/mm] als Abbildung ist  Das ist einfach [mm] $\lambda \cdot id_X$.
[/mm]
> Danach verstehe ich aber die Schreibweise nicht mehr (und
> ich finde in dem Buch auch keine Erklärung dieser
> Schreibweise). Was soll denn [mm]N(\lambda)[/mm] und [mm]R(\lambda)[/mm]
> sein?
Es sind einfach (abgeschlossene) Untervektorraume von $X$, die die Bedingungen erfuellen, die in der Aussage genannt sind: $X = [mm] N(\lambda) \oplus R(\lambda)$, [/mm] sie sind $T$-invariant, [mm] $N(\lambda)$ [/mm] ist endlichdimensional und umfasst [mm] $\ker(\lambda [/mm] - T)$ und [mm] $\lambda [/mm] - T$ eingeschraenkt auf [mm] $R(\lambda)$ [/mm] ist ein Automorphismus [mm] $R(\lambda) \to R(\lambda)$.
[/mm]
Falls $X = [mm] \IR^n$ [/mm] ist und du $T$ als Matrix auffasst, ist [mm] $N(\lambda)$ [/mm] uebrigens der verallgemeinerte Eigenraum von $T$ bzgl. [mm] $\lambda$: [/mm] das ganze ist dann ein Teil der Jordan-Zerlegung.
> Und dementsprechend verstehe ich auch nicht, was
> [mm]T(N(\lambda))[/mm] und [mm]T(R(\lambda))[/mm] sein soll. (möglicherweise
Das sind die Bilder von [mm] $N(\lambda)$ [/mm] bzw. [mm] $R(\lambda)$ [/mm] unter der linearen Abbildung $T$.
> meint N den Kern und R das Bild irgendeiner Abbildung. Aber
> was soll die Abbildung [mm]\lambda[/mm] sein, wenn [mm]\lambda[/mm] doch ein
> Spektralwert ist?)
Na, [mm] $\lambda$ [/mm] induziert die Abbildung [mm] $\lambda \cdot id_X [/mm] : X [mm] \to [/mm] X$.
Und [mm] $N(\lambda)$ [/mm] ist [mm] $\ker(\lambda [/mm] - [mm] T)^n$, [/mm] und [mm] $R(\lambda)$ [/mm] dann [mm] $Bild(\lambda [/mm] - [mm] T)^n$, [/mm] fuer ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] welches gross genug ist.
Das ist genauso wie bei der Jordanschen Normalform...
LG Felix
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> Moin!
>
> > folgenden Satz lese ich im Werner Funktionalanalysis
> > (S.221, Theorem VI.2.5):
> >
> > Sei [mm]T\in[/mm] K(X).
> > a)...
> > b)...
> > c) Jedes [mm]\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}[/mm] ist ein
> > Eigenwert von T, und der zugehörige Eigenraum
> > [mm]ker(\lambda-T)[/mm] ist endlichdimenisonal. Ferner existiert
> > eine topologisch direkte Zerlegung [mm]X=N(\lambda)\oplus R(\lambda)[/mm]
> > mit [mm]T(N(\lambda))\subset N(\lambda), T(R(\lambda))\subset R(\lambda),[/mm]
> > wobei [mm]N(\lambda)[/mm] endlichdimensional ist und [mm]ker(\lambda-T)[/mm]
> > umfasst sowie [mm](\lambda-T)|_{R(\lambda)}[/mm] ein Isomorphismus
> > von [mm]R(\lambda)[/mm] nach [mm]R(\lambda)[/mm] ist.
> > d)...
>
> Und [mm]N(\lambda)[/mm] ist [mm]\ker(\lambda - T)^n[/mm], und [mm]R(\lambda)[/mm] dann
> [mm]Bild(\lambda - T)^n[/mm], fuer ein [mm]n \in \IN[/mm], welches gross
> genug ist.
und woher weiß man das? Ist das die übliche Bezeichnung dafür? Ich hab die nämlich noch nie gesehen
> Das ist genauso wie bei der Jordanschen Normalform...
die hatten wir z.B. gar nicht behandelt... ;)
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Sa 07.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > folgenden Satz lese ich im Werner Funktionalanalysis
> > > (S.221, Theorem VI.2.5):
> > >
> > > Sei [mm]T\in[/mm] K(X).
> > > a)...
> > > b)...
> > > c) Jedes [mm]\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}[/mm] ist ein
> > > Eigenwert von T, und der zugehörige Eigenraum
> > > [mm]ker(\lambda-T)[/mm] ist endlichdimenisonal. Ferner existiert
> > > eine topologisch direkte Zerlegung [mm]X=N(\lambda)\oplus R(\lambda)[/mm]
> > > mit [mm]T(N(\lambda))\subset N(\lambda), T(R(\lambda))\subset R(\lambda),[/mm]
> > > wobei [mm]N(\lambda)[/mm] endlichdimensional ist und [mm]ker(\lambda-T)[/mm]
> > > umfasst sowie [mm](\lambda-T)|_{R(\lambda)}[/mm] ein Isomorphismus
> > > von [mm]R(\lambda)[/mm] nach [mm]R(\lambda)[/mm] ist.
> > > d)...
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> > Und [mm]N(\lambda)[/mm] ist [mm]\ker(\lambda - T)^n[/mm], und [mm]R(\lambda)[/mm] dann
> > [mm]Bild(\lambda - T)^n[/mm], fuer ein [mm]n \in \IN[/mm], welches gross
> > genug ist.
>
> und woher weiß man das?
Dazu guckt man in den Beweis. Da steht das wohl drinnen.
> Ist das die übliche Bezeichnung
> dafür? Ich hab die nämlich noch nie gesehen
Wie schon gesagt: die Bezeichnungen werden in der Aussage des Satzes definiert.
(Ich weiss nicht ob diese Bezeichnungen in der Funktionalanalysis so ueblich sind.)
> > Das ist genauso wie bei der Jordanschen Normalform...
>
> die hatten wir z.B. gar nicht behandelt... ;)
Schade, die finde ich naemlich eigentlich recht wichtig.
LG Felix
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