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Hi,
noch mal eine Frage. Ich habe gelesen, dass das Spektrum eines beschränkten Operators nicht leer ist. Ferner enthält es Spektralwerte, die betragsmäßig kleiner oder gleich der Norm des zugrundeliegenden Operators ist.
Ich finde leider keinen Beweis dazu, dass Spektralwerte existieren müssen, und komme selber nicht darauf.
Wer kann mir den Beweis zeigen, oder eine Idee geben.
Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 27.02.2008 | | Autor: | felixf |
Moinmoin!
> noch mal eine Frage. Ich habe gelesen, dass das Spektrum
> eines beschränkten Operators nicht leer ist.
Ueber [mm] $\IC$ [/mm] schon. Ueber [mm] $\IR$ [/mm] muss das nicht stimmen.
> Ferner
> enthält es Spektralwerte, die betragsmäßig kleiner oder
> gleich der Norm des zugrundeliegenden Operators ist.
>
> Ich finde leider keinen Beweis dazu, dass Spektralwerte
> existieren müssen, und komme selber nicht darauf.
>
> Wer kann mir den Beweis zeigen, oder eine Idee geben.
Der Beweis sollte in jedem guten Buch ueber Funktionalanalysis drinnenstehen. Hier eine verkuerzte Version:
Wenn das Spektrum eines Operators $T$ leer ist, so ist fuer jedes [mm] $\lambda \in \IC$ [/mm] der Operator [mm] $\lambda [/mm] - T$ invertierbar. Man betrachtet die sogenannte Resolventenabbildung $R : [mm] \IC \to \mathcal{L}(X)$ [/mm] mit [mm] $R(\lambda) [/mm] := [mm] (\lambda [/mm] - [mm] T)^{-1}$ [/mm] und man kann zeigen, dass diese um jedes [mm] $\lambda_0 \in \IC$ [/mm] als Potenzreihe entwickelbar ist. (Dazu braucht man den Satz ueber die Neumannsche Reihe.)
Sei [mm] $\varphi$ [/mm] eine beliebige stetige Linearform [mm] $\mathcal{L}(X) \to \IC$. [/mm] Dann ist die Funktion $f := [mm] \varphi \circ [/mm] R : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] holomorph. Man zeigt nun, dass $f$ auf [mm] $\IC$ [/mm] beschraenkt ist: dazu reicht es zu zeigen, dass [mm] $f(\lambda)$ [/mm] fuer alle [mm] $\abs{\lambda} [/mm] > 2 [mm] \|T\|$ [/mm] beschraenkt ist. Die Details lass ich mal weg, man bekommt [mm] $|f(\lambda)| \le \frac{\| \varphi \|}{\| T \|}$.
[/mm]
Nach dem Satz von Liouville (aus der Funktionentheorie) ist damit $f$ konstant. Jetzt schaut man ich die Potenzreihenentwicklung der Resolventenabbildung an. Ist $A$ der Koeffizient von einem nicht-konstanten Term (das ist ein Operator!), so ist [mm] $\varphi(A) [/mm] = 0$ fuer alle Linearformen [mm] $\varphi$, [/mm] womit nach Hahn-Banach $A = 0$ folgt. Die Resolventenabbildung selber ist also auch konstant.
Das heisst aber, dass [mm] $\lambda [/mm] - T$ fuer alle [mm] $\lambda \in \IC$ [/mm] die gleiche Inverse besitzen: wegen der Eindeutigkeit der Inversen kann das aber nicht sein! Also war die Annahme, dass das Spektrum leer ist, falsch.
LG Felix
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