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Hallo,
Ich habe eine Frage zur Existenz einer Spektralzerlegung.
Und zwar würde mich interessieren wann eine Spektralzerlegung in der Form
[mm] X=SDS^T
[/mm]
überhaupt existiert? Dabei ist D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale und S enthält die Eigenvektoren.
Ich habe dazu leider nichts gefunden, denn diese Zerlegung soll immer nur berechnet werden. Aber mich würde interessieren wann diese Zerlegung existiert bzw. nicht existiert.
Vielen Dank für Antworten
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Hallo,
kurz und knapp gesagt:
Der Spektralsatz hilft dir bei der Suche nach der Antwort. (Spektralsatz für endlichdimensionale Vektorräume)
Meiner Meinung nach findest du in dem Buch von Fischer, "Lineare Algebra" ausführliche Informationen dazu.
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Ok, vielen Dank für den Tipp. Ich habe gerade nachgeschaut und konnte zwar keinen Spektralsatz finden aber dafür einen Satz (Seite 225) in dem gesagt wird, dass ein Endomorphismus diagonalisierbar ist, falls er n paarweise verschiedene Eigenwerte hat. Dabei ist n die Dimension.
Das heißt, um zu zeigen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist müssen entweder n paarweise verschiedene Eigenwerte exisitieren oder die Summe der Dimensionen der Eigenräume muss n sein (falls keine n paarweise verschiedenen Eigenwerte existieren).
Warum ich frage ist, dass ich einen Beweis nachvollziehen will und darin taucht die Matrix [mm] \pmat{a_1 & b_1 & &0 \\ b_1 & a_2&\ddots& \\ & \ddots &\ddots & b_{n-1} \\0&&b_{n-1}&a_n } [/mm] auf. Sie wird dann in ihre Spektralzerlegung zerlegt.
Ist es irgendwie offensichtlich, dass diese Tridiagonalmatrix diagonalisierbar ist? Denn ich sehe es leider nicht..
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> Warum ich frage ist, dass ich einen Beweis nachvollziehen
> will und darin taucht die Matrix [mm]\pmat{a_1 & b_1 & &0 \\ b_1 & a_2&\ddots& \\ & \ddots &\ddots & b_{n-1} \\0&&b_{n-1}&a_n }[/mm]
> auf. Sie wird dann in ihre Spektralzerlegung zerlegt.
> Ist es irgendwie offensichtlich, dass diese
> Tridiagonalmatrix diagonalisierbar ist? Denn ich sehe es
> leider nicht..
Hallo,
ist es eine Matrix mit Einträgen aus [mm] \IR?
[/mm]
Reelle, symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.
LG Angela
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Hallo,
Ja, die Matrix hat Einträge aus [mm] \IR. [/mm]
Vielen Dank für die Antwort. Dann ist es jetzt klar. Ich war etwas verwirrt, da diese Matrix zuerst diagonalisiert wird und damit dann später gezeigt wird, dass alle Eigenwerte paarweise verschieden sein müssen.
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