Spektralnorm abschätzen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Do 29.11.2007 | | Autor: | rose_07 |
Hallo,
ich habe folgende Abschätzung gegeben:
Sei [mm] A^{} [/mm] eine m [mm] \times [/mm] n Matrix und [mm] A^{\ast} [/mm] deren transponiert Konjugierte, a und b Konstanten mit a < b , dann sei gegeben:
a [mm] \le \lambda_{min} (A^{\ast}A) \le \lambda_{max} (A^{\ast}A) \le [/mm] b [mm] (\lambda [/mm] bezeichnet den größten bzw. kleinsten Eigenwert)
Wieso folgt daraus, dass [mm] \|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} \le \frac{1}{a} [/mm] ist?
Die Spektralnorm [mm] \|A^{}\|_{2} [/mm] ist ja gerade [mm] \sqrt{\lambda_{max}(A^{\ast}A)}, [/mm] die Spektralnorm [mm] \|A^{-1}\|_{2} [/mm] ist [mm] \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}(A^{\ast}A)}}.
[/mm]
Danke schon mal im Voraus!
rose_07
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich habe folgende Abschätzung gegeben:
>
> Sei [mm]A^{}[/mm] eine m [mm]\times[/mm] n Matrix und [mm]A^{\ast}[/mm] deren
> transponiert Konjugierte, a und b Konstanten mit a < b ,
> dann sei gegeben:
>
> a [mm]\le \lambda_{min} (A^{\ast}A) \le \lambda_{max} (A^{\ast}A) \le b [/mm]([mm]\lambda[/mm] bezeichnet den größten bzw. kleinsten Eigenwert)
>
> Wieso folgt daraus, dass [mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} \le \frac{1}{a}[/mm]
> ist?
>
> Die Spektralnorm [mm]\|A^{}\|_{2}[/mm] ist ja gerade [mm]\sqrt{\lambda_{max}(A^{\ast}A)},[/mm] die Spektralnorm
> [mm]\|A^{-1}\|_{2}[/mm] ist [mm]\frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}(A^{\ast}A)}}.[/mm]
Rechne doch die Spektralnorm von [mm](A^{\ast}A)^{-1}[/mm] nach der Definition aus:
[mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2} = \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}((A^{\ast}A)^{\ast}(A^{\ast}A))}} [/mm].
Nun ist [mm](A^{\ast}A)^{\ast} = A^{\ast}A[/mm], daher
[mm]\|(A^{\ast}A)^{-1}\|_{2}= \frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}((A^{\ast}A)^2)}} [/mm].
Wie hängt [mm]\lambda_{min}((A^{\ast}A)^2)[/mm] mit [mm]\lambda_{min}(A^{\ast}A)[/mm] zusammen? Setze diesen Zusammenhang ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 02.12.2007 | | Autor: | rose_07 |
Hi Rainer,
stand wohl auf dem Schlauch, bin aber selbst natürlich draufgekommen, habe übersehen, dass die matrix ja hermitesch ist.
Aber wieso ist die matrix überhaupt invertierbar?
Danke noch mal.
Gruß
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