Spatprodukt /lin. Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Fr 21.04.2006 | | Autor: | buchmann |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Notwendig und hinreichend für die lineare Abhängigkeit von drei Elementen [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] eines dreidimensionalen Vektorraums ist das Verschwinden ihres Spatprodukts. |
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Wenn das Spatprodukt verschwinden soll, dann muss ja
a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 = a1b3c2 + a2b1c3 + a3b2c1 gelten.
Und wie kann ich jetzt zeigen, dass es eine nich triviale Nullsumme der Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}gibt?
[/mm]
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was dürft ihr denn für den beweis verwenden? also an sich ist es ja trivial, wenn (a,b,c) die matrix mit den vektoren a,b,c als spalten ist, dann ist das spatprodukt det(a,b,c). det(a,b,c)=0 ist aber äuivalent mit (a,b,c) ist nicht invertierbar und das ist äquivalent mit a,b,c sind linear abhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 24.04.2006 | | Autor: | buchmann |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Notwendig und hinreichend für die lineare Abhängigkeit von drei Elementen a,b,c eines dreidimensionalen Vektorraums ist das Verschwinden ihres Spatprodukts.
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Hm also der Gedankengang ist ja eigentlich logisch.
Wenn das Spatprodukt = 0 ist, dann sind a,b,c komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
3 komplanare Vektoren können keinen Schiefkörper bilden.
Also sind a,b,c linear abhängig.
[mm] \vec{a} [/mm] mal [mm] \vec{b} \times \vec{c} [/mm] = 0
Unser Prof erwartet nur leider, dass wir das konkret ausrechnen. Weiss nicht irgendjemand, wie man dass in ein paar mathematischen Zeilen aufs Papier bringen kann?
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Hallo,
reicht es nicht, wenn du zeigst, dass das spatprodukt genau die determinante der entsprechenden matrix ist? den zusammenhang zwischen determinante und linearer (un)abhängigkeit werdet ihr ja wohl voraussetzen dürfen....
VG
Matthias
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