Spaltenraum ist Bild < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Di 09.12.2008 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | Sei A ∈ [mm] \IR^{mxn} [/mm] eine Matrix. Beachten Sie, dass die Spalten von A als ein System von n Vektoren in [mm] \IR^{m} [/mm] aufgefasst werden können. Das von diesem System erzeugten Unterraum von [mm] \IR^{m} [/mm] heilßt der Spaltenraum von A.
a) Finden Sie eine Basis des Spaltenraums der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
b) Für jede Matrix A zeigen Sie: Der Spaltenraum ist Bild [mm] (L_{A})
[/mm]
c) Zeigen Sie ferner: [mm] L_{A} [/mm] ist genau dann injektiv, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ja hallo...hab jetzt überall rumgeguckt und komm aber nirgends im inet oder in den büchern weiter ich hoffe ihr könnt mir helfen...
also
a) habe den spaltenraum mit U bezeichnet
U ∈ [mm] \IR^{3} [/mm] da wir eine (3x4)-Matrix haben...somit bekommen wir vier spaltenvektoren mit v1=(1,1,2) v2=(0,0,0) v3=(1,0,1) und v4=(0,1,1) is das soweit richtig?
wusste jetzt nich so recht weiter...also den v2 können wir ja als basis ausschließen da er von allen vektoren linear abhängig ist...muss ich jetzt noch ma durch die gauss-figur meine basis bestimmen?
wenn ich das mache bekomme ich Basis: w1=(1,1,2) w2=(0,1,1) und ein dritter linear unabhängiger vektor dazu e1=(1,0,0)...das würde ich jetzt als basis bezeichnen oder?
b) ja mein problemkind halt...also erstma zum verständnis... [mm] L_{A} [/mm] =lineare Abbildung der Matrix also von [mm] \IR^{n} [/mm] nach [mm] \IR^{m}
[/mm]
ja und wie beweis ich das jetzt? also ein Bild(A):=A(U)=A*u wobei alle u ∈ U...und das Bild ist doch ein Spaltenraum, weil es von den Spaltenvektoren der Matrix A aufgespannt wird oder?...weiß jetzt aber absolut nicht wie ich weiter machen soll....=(
c) ja und hierzu hatte ich mir überlegt
injektiv ist [mm] L_{A} [/mm] ja, wenn A(v)=A(w) wobei v,w ∈ V sind also v=w ist...nun muss ich natürlich noch beweisen dass diese zwei spaltenvektoren linear unabhängig sind...wie mach ich das? und reicht das als beweis? bitte helft mir...vielen dank
lg lenzlein
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> Sei A ∈ [mm]\IR^{mxn}[/mm] eine Matrix. Beachten Sie, dass die
> Spalten von A als ein System von n Vektoren in [mm]\IR^{m}[/mm]
> aufgefasst werden können. Das von diesem System erzeugten
> Unterraum von [mm]\IR^{m}[/mm] heilßt der Spaltenraum von A.
> a) Finden Sie eine Basis des Spaltenraums der Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
>
>
> b) Für jede Matrix A zeigen Sie: Der Spaltenraum ist Bild
> [mm](L_{A})[/mm]
> c) Zeigen Sie ferner: [mm]L_{A}[/mm] ist genau dann injektiv, wenn
> die Spalten von A linear unabhängig sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ja hallo...hab jetzt überall rumgeguckt und komm aber
> nirgends im inet oder in den büchern weiter ich hoffe ihr
> könnt mir helfen...
> also
> a) habe den spaltenraum mit U bezeichnet
> U ∈ [mm]\IR^{3}[/mm] da wir eine (3x4)-Matrix haben...somit
> bekommen wir vier spaltenvektoren mit v1=(1,1,2) v2=(0,0,0)
> v3=(1,0,1) und v4=(0,1,1) is das soweit richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte in Zukunft den Formeleditor unterhalb des Eingabefensters: Du kannst Spalten als Spalten schreiben. Wenn man das tut, muß man beim Lesen weniger denken.
Die Spaltenvektoren hast Du abgesehen davon, daß es keine Spalten sind, richtig angegeben.
Diese 4 Vektoren erzeugen den Spaltenraum. Um eine Basis dieses Raumes zu finden, ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge abzufischen, was Dir mit
> Basis: w1=(1,1,2) ,w2=(0,1,1)
gelungen ist.
Diese beiden bilden (als Spalten) eine basis des Spaltenraumes.
Davon, daß Du diese zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen sollst, was Du unten tust, ist nirgendwo die rede.
Die Basis des Spaltenraumes besteht aus zwei vektoren. der Spaltenraum ist somit zweidimensional.
Du kannst die basis des Spaltenraumes mithilfe der Zeilenstufenform finden:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 } [/mm] --> [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \red{1} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehe in der 1. und 3.Spalte, also bilden der 1. und 3. Ursprngsvektor gemeinsam eine Basis des Spaltenraumes, dh. [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] bilden eine Basis.
Daß das eine andere basis als Deine ist, muß Dich nicht erschüttern, VRe haben normalerweise viele Basen.
> b) ja mein problemkind halt...also erstma zum
> verständnis... [mm]L_{A}[/mm] =lineare Abbildung der Matrix also von
> [mm]\IR^{n}[/mm] nach [mm]\IR^{m}[/mm]
>
> ja und wie beweis ich das jetzt?
Du sollst zeigen Spaltenraum = Bild,
also Spaltenraum [mm] \subseteq [/mm] Bild
und
Bild [mm] \subsete [/mm] Spaltenraum.
Hier gibt es sicher mehrere Möglichkeiten.
Ich würde es so machen:
Erstmal zeigen, daß das Bild des i-ten Einheitsvektors gerade der i-te Spaltenvektor ist.
daraus folgt dann mithilfe der Linearität, daß das Bild einer Linearkombination von Einehitsvektoren eine Linearkombination der Spalten ist. Damit wäre die zweite Aussage gezeigt.
Spaltenraum [mm] \subseteq [/mm] Bild zeigst Du so:
nimm eine beliebige Linearkombination der Spalten und zeige, daß sie im Bild liegt, indem Du angibst, welcher vektor drauf abgebildet wird.
> c) ja und hierzu hatte ich mir überlegt
> injektiv ist [mm]L_{A}[/mm] ja, wenn A(v)=A(w) wobei v,w ∈ V
> sind also v=w ist...nun muss ich natürlich noch beweisen
> dass diese zwei spaltenvektoren linear unabhängig
> sind...wie mach ich das?
Die Aussage beinhaltet zwei richtungen:
1. injjektiv ==> Spalten linear unabhängig
2. Spalten linear unabhängig ==> injektiv.
zu 1:
Nimm an, die Abbildung ware injektiv und die Spalten, also die Bilder der Basiseinheitsvektoren, linear abhängig. Dann kannst Du eine Spalte als Linearkombination der anderen schreiben. Führe die mithilfe der Injektivität zu einem Widerspruch zur Unabhängigkeit der Basiseinheitsvektoren.
zu 2.
Nimm an die Spalten (Bilder der Basiseinheitsvektoren) wären linear unabhängig, und es gäbe Vektoren v,w mit f(v)=f(w). zeige, daß w=v sein muß.
Gruß v. Angela
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