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| Aufgabe | A [mm] \in M_{m \times n} (\IK)
[/mm]
Zeige die Äquivalenz:
1) Spalten von A erzeugen [mm] \IK^m
[/mm]
2) A hat m linear unabhängige Spalten |
1=>2
Spalten von A erzeugen [mm] \IK^m, [/mm] d.h. die Spalten sind das Erzeugendensystem von etwas m-dimensionalen.
dh [mm] \psi_A [/mm] ist surjektiv, dh [mm] img(\psi_A) [/mm] = [mm] \IK^m
[/mm]
dim ( [mm] img(\psi_A)) [/mm] = [mm] dim(\IK^m)
[/mm]
rank(A)=m d.h. Spaltenraum ist m dimensional.Die Matrix A besitzt
daher m linear unabhängige Spalten, und je n+1 Spalten sind linear abhängig.
2=>1
A hat m linear unabhängige Spalten
Bedeutet dass, das m+1 Spalten schon linear abhängig sind?
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> A [mm]\in M_{m \times n} (\IK)[/mm]
> Zeige die Äquivalenz:
> 1) Spalten von A erzeugen [mm]\IK^m[/mm]
> 2) A hat m linear unabhängige Spalten
> 1=>2
> Spalten von A erzeugen [mm]\IK^m,[/mm] d.h. die Spalten sind das
> Erzeugendensystem von etwas m-dimensionalen.
Hallo,
ja. Und dieses geheimnisvolle "m-dimensionale" ist halt der Raum [mm] K^m...
[/mm]
Mal ohne Geheimnis formuliert: die Spalten erzeugen den [mm] K^m, [/mm] welcher bekanntlich ein VR der Dimension m ist.
Das ganze Gewese mit "surjektiv" usw. würde ich weglassen:
Die Spalten sind ein Erzeugendensystem eines m-dimensionalen Raumes.
Bekanntlich enthält jedes Erzeugendensystem, also auch dieses, eine Basis des erzeugten Raumes. Daher findet man in der Menge, die die n Spalten der Matrix enthält, eine Basis des [mm] K^m, [/mm] also eine Teilmenge, die aus m linear unabhängigen Spalten besteht.
> dh [mm]\psi_A[/mm] ist surjektiv, dh [mm]img(\psi_A)[/mm] = [mm]\IK^m[/mm]
> dim ( [mm]img(\psi_A))[/mm] = [mm]dim(\IK^m)[/mm]
> rank(A)=m d.h. Spaltenraum ist m dimensional.Die Matrix A
> besitzt
> daher m linear unabhängige Spalten, und je n+1 Spalten
> sind linear abhängig.
>
Es muß m+1 heißen - aber ich würde das komplett weglassen, denn es ist nicht danach gefragt.
> 2=>1
> A hat m linear unabhängige Spalten
> Bedeutet dass, das m+1 Spalten schon linear abhängig
> sind?
Nicht von vornherein als Voraussetzung.
Du weißt aber, daß A eine [mm] m\times [/mm] n-Matrix ist, sie enthält also m linear unabhängige Vektoren des [mm] K^m...
[/mm]
LG Angela
>
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hei ;)
Schonmal vielen lieben Dank
A hat m linear unabhängige Spaltenvektoren,
> d.h. sie enthält also m linear unabhängige Vektoren des [mm] K^m... [/mm]
Jede linear unabhängige Teilmenge kann man zu einem linear unabhängigen Erzeugnis ergänzen, das [mm] \IK^m [/mm] erzeugt. d.h Spalten von A erzeugen [mm] \IK^m.
[/mm]
Passt das?
Noch eine Frage:
Warum folgt aus: Die Zeilen von A erzeugen ein m-dimensionalen Teilraum.
Dass [mm] \psi_A:\IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m, \psi_A [/mm] (x)=Ax ist surjektiv
Die Zeilen von A erzeugen ein m-dimensionalen Teilraum. dh ja der Zeilenraum ist m dimensional. Die Matrix A besitzt
daher m linear unabhängige Zeilen, und je m + 1 Zeilen sind linear abhängig. A hat also m linear unabhängige Zeilen.
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> A hat m linear unabhängige Spaltenvektoren,
> > d.h. sie enthält also m linear unabhängige Vektoren
> des [mm]K^m...[/mm]
Hallo,
m linear unabhängige Vektoren des [mm] K^m [/mm] sind automatisch eine Basis des [mm] K^m, [/mm] und damit bist Du fertig:
die Spalten erzeugen auf jeden Fall einen Unterraum des [mm] K^m, [/mm] und da Dein Erzeugendensystem eine Basis des [mm] K^m [/mm] enthält, erzeugen sie den [mm] K^m.
[/mm]
Da muß nichts mehr ergänzt werden.
> Jede linear unabhängige Teilmenge kann man zu einem linear
> unabhängigen Erzeugnis ergänzen, das [mm]\IK^m[/mm] erzeugt. d.h
> Spalten von A erzeugen [mm]\IK^m.[/mm]
> Passt das?
>
> Noch eine Frage:
> Warum folgt aus: Die Zeilen von A erzeugen ein
> m-dimensionalen Teilraum.
> Dass [mm]\psi_A:\IK^n[/mm] -> [mm]\IK^m, \psi_A[/mm] (x)=Ax ist surjektiv
Wenn die Zeilen einen m-dimensionalen Unterraum (hier: des [mm] K^{\red{n}}) [/mm] erzeugen, dann ist der Zeilenrang von A, also die Dimension des von den Zeilen aufgespannten Raumes, =m.
Du weißt aus der VL: Zeilenrang = Spaltenrang = Rang.
Also erzeugen die Spalten ebenfalls einen Raum der Dimension m, und da es sich um einen Teilraum des [mm] K^m [/mm] handelt, muß es der [mm] K^m [/mm] selbst sein.
Nun gut, wir haben also die Matrix [mm] A=\pmat{v_1&v_2&...&v_m&v_{m+1}&...&v_n}, [/mm] und wir nehmen er Einfachheit halber mal an, daß die ersten m Spalten eine Basis des [mm] K^m [/mm] sind.
Sei nun v irgendein Vektor aus dem [mm] K^m. [/mm] Wir können ihn dann schreiben als [mm] v=a_1v_1+...+a_mv_m, [/mm] und es ist
[mm] \psi_A(\vektor{a_1\\\vdots\\a_m\\0\\\vdots\\0})=A*\vektor{a_1\\\vdots\\a_m\\0\\\vdots\\0}=\pmat{v_1&v_2&...&v_m&v_{m+1}&...&v_n}*\vektor{a_1\\\vdots\\a_m\\\vdots\\0}=a_1v_1+a_2v_2+...+a_mv_m+0*v_{m+1}+...+0*v_n=v,
[/mm]
also ist [mm] \psi_A [/mm] surjektiv.
LG Angela
>
> Die Zeilen von A erzeugen ein m-dimensionalen Teilraum. dh
> ja der Zeilenraum ist m dimensional. Die Matrix A besitzt
> daher m linear unabhängige Zeilen, und je m + 1 Zeilen
> sind linear abhängig. A hat also m linear unabhängige
> Zeilen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 17.02.2012 | | Autor: | theresetom |
Ich danke dir ;)
Liebe Grüße
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