Spalt: Was Näherung, was nicht < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 20.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
durch die vielen Näherungen bei den Spaltversuchen bin ich etwas verwirrt, was nun noch genau ist.
Nehmen wir einen einfachen Doppelspalt, monochromatisches Licht und einen Schirm:
- wenn der Schirm gerade ist, also parallel zur Wand mit dem Doppelspalt, dann ist der Abstand von Max0 bis Max1 doch FAST genau gleich dem Abstand von Max1 bis Max2, aber nicht genau, oder?
- wenn der Schirm einen Halbkreis bildet, mit dem Doppelspalt als Mittelpunkt - Ist dann der Kreisabschnitt Max0 bis Max1 EXAKT GLEICH dem Abstand von Max1 bis Max2? Anders gefragt - Ist der Winkel immer GLEICH, oder auch nur FAST GLEICH?
- wenn weder Winkel noch Abstand an der Wand GLEICH sind, was ist dann GLEICH? Ich fände es sehr unlogisch, wenn bei einer parallelen Wand die Abstände immer gleich wären, der gleiche Winkel würde jedoch in meinen Augen Sinn machen... Sind etwa beide Annahmen falsch?
Danke
Oli
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> - wenn der Schirm gerade ist, also parallel zur Wand mit
> dem Doppelspalt, dann ist der Abstand von Max0 bis Max1
> doch FAST genau gleich dem Abstand von Max1 bis Max2, aber
> nicht genau, oder?
Das ist korrekt.
>
> - wenn der Schirm einen Halbkreis bildet, mit dem
> Doppelspalt als Mittelpunkt - Ist dann der Kreisabschnitt
> Max0 bis Max1 EXAKT GLEICH dem Abstand von Max1 bis Max2?
> Anders gefragt - Ist der Winkel immer GLEICH, oder auch nur
> FAST GLEICH?
Der Winkel ist immer gleich. Ich meine, es ist dem Strahl ja egal, nach welcher Strecke er auftrifft, solange die Strecke hinreichend lang ist, daß man von parallelen Strahlen ausgehen kann.
Da die Abstände auf dem runden Schirm 1:1 den Winkel wiedergeben, ist das hier exakt. Beim flachen Schirm steckt da der Tangens drin, aber der macht sich erst ab etwa 30° bemerkbar, macht insgesamt 60° zum Beobachten, und das ist sehr, sehr viel mehr, als man gewöhnlich benutzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Sa 21.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
ja, so dachte ich mir das.
In meiner Formelsammlung steht
[mm] \bruch{n*\lambda}{b}=sin(\alpha_{n})
[/mm]
-> Dies ist doch so nicht korrekt,
da [mm] \bruch{2*n*\lambda}{b}\not=sin(2*\alpha_{n}) [/mm] oder? Bei den Minima steht statt dem = ein [mm] \approx [/mm] ...
Wie ist denn dann die genaue Formel für den Winkel in Abhängigkeit von n, [mm] \lambda [/mm] und b?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das, was in deiner Formelsammlung steht, betrachtet die Näherung, die man ganz gerne betrachtet:
Stell dir mal zwei Lichtquellen vor, die 2 Meter auseinander liegen.
Stehst du direkt davor, siehst du die beiden Lichtquellen sicher sehr weit auseinander.
Je weiter du aber von den beiden Lichtquellen Weggehst, desto näher rücken die beiden Lichtquellen zusammen.
Bist du 100 Meter von den beiden Lichtquellen entfernt, so sehen für dich die beiden Lichtquellen so aus, als lägen sie übereinander.
Die Lichtwellen kommen quasi parallel zu deinem Beobachtungspunkt an.
Nun ist es bei dem Doppelspalt ja nicht so, dass du 100m weg bist, aber dafür sind auch die Spaltbreiten um einiges kleiner.
So kann man allgemein dann sagen:
ist d<<y wobei d die Spaltbreite und y der Abstand vom Doppelspalt ist, so kann man diese "Parallelitäts"annahme machen.
Und unter dieser Annahme gilt:
[mm] sin\alpha=\bruch{n*\lambda}{b} [/mm] , für die Maxima
Weiterhin gilt, dass [mm] tan\alpha=x/y [/mm] , wobei y der Abstand Spalt-"Leinwand" ist und x der Abstand des Punktes, den du betrachtest, von der Mittelsenkrechten.
Warum soll deiner Ansicht nach gelten:
[mm] \bruch{2n\lambda}{b}=sin2\alpha
[/mm]
Dass das nicht gleich ist, stimmt, aber warum sollte das deiner Meinung nach gleich sein?
Wo genau steht bei den Minima ein [mm] \approx [/mm] anstatt =.
Kann das sein, dass da irgendwo mal steht
[mm] \bruch{n*\lambda}{b}=sin\alpha\approx [/mm] x/y ?
Das wäre nämlich dann die sog. "Kleinwinkelnäherung", die man macht, wenn [mm] \alpha<10° [/mm] gilt, weil dann ist [mm] tan\alpha [/mm] nääherungsweise gleich [mm] sin\alpha.
[/mm]
Die genaue Formel, die den Laufwegsunterschied angibt, erhälst du durch folgende Überlegung:
Man zeichne sich den Doppelspalt.
Dann zeichne man sich einen Punkt P(x;y).
Nun kannst du ja die Strecke Öffnung des ersten Spaltes bis zum Punkt mit Hilfe des Pythagoras berechen
Das selbe machst du mit dem Laufweg vom zweiten Spalt bis zum Punkt.
Dann gibt es eine hässliche Wurzelformel.
Der Laufwegsunterschied der beiden Strahlen ist dann die Differenz der beiden Strecken.
Diese Differenz (also die Differenz der beiden Wurzeln) muss dann ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] \lambda [/mm] sein, damit konstruktive Interferenz herrscht.
Allerdings benutzt man eg. diese "genaue" Formel nur äußerst selten, nämlich genau dann, wenn der Abstand der beiden Spalte ungefähr in der Größenordnung vom Abstand Schrim-Spalt liegt, weil man dann diese "Prallelitäts"näherung nicht machen kann.
Da diese Formel aber so unahndlich ist, und schlecht zu rechnen ist, wird die in der Schule eigentlich nie benutzt.
Wir haben die nur einmal kurz kennen gelernt, um zu sehen, wie es genau geht, und unter welchen Näherungen man dann weiter arbeitet.
LG
KRoni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Sa 21.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Vielen Dank für eure Antworten!
Jedoch kriege ich nach der Formelsammlung für das erste Maximum [mm] \alpha, [/mm] für das zweite jedoch nicht ganz [mm] 2\alpha... [/mm] Ich dachte, nach der genäherten Formel wären die Winkel GLEICH, nur die Abstände GENÄHERT?
Welche Formel sagt mir, dass [mm] \alpha(Max_{2})=2\alpha(Max_{1}) [/mm] ?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Oli
Hast du meine Kortrekturmitteilung gelesen?
> Welche Formel sagt mir, dass
> [mm]\alpha(Max_{2})=2\alpha(Max_{1})[/mm] ?
KEINE Formel, weil es falsch ist, aber beinnahe richtig, wenn nämlich die Winkel kleiner etwa 5° sind,siehst du den Unterschied erst in der 4. Stelle hinterm Komma
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 So 22.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
ok... In welcher Beziehung steht denn der Winkel des 2. Maximum zum Winkel des 1. Maximum? Wieso ist dieser nicht doppelt so groß?
Würd das halt gern wissen, auch wenn es unwichtig is ;)
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 22.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Nabend=)
Also:
Für Winkel, die kleiner als 10° sind, kannst du ja die Näherung sin=tan nutzen.
Dann gilt ja für Maxima:
[mm] \bruch{k*\lambda}{d}=x_{k}/y
[/mm]
Wenn man jetzt den Abstand zweier benachbarter Maxima berechnet, also den Abstand zwischen dem k. und k+1. Maximum, so kommt dabei heraus (vorrausgesetzt, dass die beiden Maxima immer noch einen Winkel kleiner 10° liefern):
[mm] \Delta x_{k;k+1} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda * y}{d}
[/mm]
D.h. für die Kleinwinkelnäherung haben zwei Maxima (egal welche, obs nun das 0. und 1. oder 1. und 2. ...) immer den selben Abstand (natürlich darf der Winkel dann nicht größer als 10° sein!)
Analog kannste dir auch nur die Winkel ansehen, und sagen:
Für Winkel kleiner 10° gilt:
[mm] 2*sin\alpha=sin2\alpha
[/mm]
Dise Beziehung sagt ebenfalls aus, dass der Abstand zwischen zwei Maxima gleich groß ist, falls der Winkel kleiner als 10° ist (das kannste ja auch einfach mal ausprobieren mit deinem TR)
Denn es gilt ja:
[mm] sin\alpha=\bruch{k*\lambda}{d} [/mm] => [mm] \alpha{k}=arcsin\bruch{k*\lambda}{d}
[/mm]
Und dann gilt:
[mm] \alpha{k+1}=arcsin\bruch{(k+1)*\lambda}{d}
[/mm]
Für k=1 gilt dann, dass der Winkel [mm] \alpha_{1} [/mm] dann so ausschaut:
[mm] \alpha_{1}=arcsin(\bruch{\lambda}{d})
[/mm]
und der Winkel für k+1 => k=2 dann so:
[mm] \alpha_{2}=arcsin(2*\bruch{\lambda}{d})
[/mm]
Und mit der Näherung von oben, gilt dann, dass
[mm] \alpha_{2}=2*\alpha{1}
[/mm]
Also ist der Winkel dann doppel so groß, d.h. die Maxima sind äquidistant.
Soweit dazu.
Wird der Winkel für ein Maximum aber größer als 10°, so gilt diese Näherung von oben nicht mehr.
Und dann sind die Maxima auch nicht mehr Äquidistant, da sich die Winkel dann einfach zu sehr unterscheiden.
Beantwortet das deine Frage?
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Di 24.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
vielen vielen Dank, das hat viel Klarheit gebracht!!
Stehen die Winkel ab etwa 10° also in GAR KEINEM Verhältnis mehr zueinander? Weder vom Abstand noch vom Winkel her gesehen? Ist für mich schwer zu verstehen, da die Physiker doch immer irgendeine Formel finden, um auch bei großen Winkeln die Distanzen bzw. ihre Verhältnisse auszurechnen...
Vermutlich über tan, weiss jedoch nicht genau wie.
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Di 24.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du ja den sin des Winkels kennst, kannst du mit arcsin dann den Winkel (für den Kreisschirm) und mit tan(arcsin..) den Abstand auf dem graden Schirm.
und für den gibts immer noch die Differenz, die man mit Pythagoras ausrechnet. lohnt sich halt nur für kleine Winkel nicht.
Formeln gibts oft, aber wenn sie zu kompliziert werden, kann man das ungefähr Verhalten nicht mehr so gut sehen. drum nimmt man zum Verstehen, was im Prinzip passiert eben die einfachen ungefähr Formeln. oder was weisst du , wenn man die sagt, dass der Abstand des nten Maxima vom 0ten max [mm] tan(arcsin(n*\lambda/d) [/mm] ist? aber mit nem TR das exakte ausrechnen geht schnell.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:56 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kleine Korrektur: bei 30° ist der Unterschied zwischen sin30°=0,5 und tan30°=0,58 doch schon sehr gross gegenüber möglichen Messfehlern!(mehr als 15%) erst bei ca 10° wird der Fehler kleiner 1%.
2. bei grossen Entfernungen also parallelen Strahlen ist die Lage des Max,durch [mm] sin\alpha=n*\lambda/d [/mm] bestimmt.
Auf dem Kreisförmigen Schirm wird aber [mm] r*\alpha [/mm] (im Bogenmass) angezeigt, nicht [mm] sin\alpha. [/mm] allerdings ist der Unterschied zwischen [mm] \alpha [/mm] und [mm] sin\alpha [/mm] kleiner als der zw. [mm] sin\alpha [/mm] und [mm] tan\alpha.
[/mm]
gruss leduart
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Die beiden Lichtquellen (z.B.Doppelspalt) sind als dicke Punkte gezeichnet. Sie haben voneinander den Abstand g. Von ihrer Mitte aus gehst du um die Länge L senkrecht zur Verbindungslinie weg und biegst dann senkrecht zu L ab, bis du die Entfernung x von L hast.
Für Minima und Maxima kommt es nun darauf an, wie groß der Wegunterschied zwischen dir und den beiden Wegen a und b zu den Lichtquellen ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nach Pythagoras gilt für a: [mm] a^2=(x+g/2)^2 [/mm] + [mm] L^2 [/mm] und
[mm] b^2 [/mm] = [mm] (x-g/2)^2+L^2 [/mm] (L jeweils die rote Hilfslinie).
Du berechnest nun a und b und bildest die Differenz. Ist sie genau ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] \lambda [/mm] (einschließlich [mm] 0*\lambda=0), [/mm] so hast du eine Verstärkung (Maximum), ist sie ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda/2, [/mm] so hast du eine Auslöschung.
Du kannst mit einem Computerprogramm ja rechnerisch mal die untere Linie im Bild abtasten und Minima und Maxima bestimmen. Dann merkst du, wie aufwändig das Verfahren ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 25.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
danke nochmal!
Heisst das, dass [mm] \alpha(Max_{0}-Max_{1}) [/mm] und [mm] \alpha(Max_{1}-Max_{2}) [/mm] in keinerlei Verhältnis stehen? Der Winkel der beiden ist ja nicht gleich, sondern minimal verschieden.
Oder?
Oli
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Natürlich gibt es ein - überaus kompliziertes - Verhältnis über den gezeigten Rechenweg. Dieses Verhältnis ist aber so kompliziert und i.a. (s.u.) unwichtig, dass es sich nicht lohnt, darüber zu spekulieren. Gehe von folgenden praktischen Betrachtungen aus:
Ist der Abstand L nicht sehr viel größer als der Abstand g, ist die von mir gezeigte Rechnung angebracht. Solch einen Fall hast du z.B. in einem Hafenbecken, wenn dieses in 200 m Entfernung durch eine Mole gegen Wellenschlag vom Meer abgetrennt ist und in der Mole z.B. im Abstand von 150 m zwei 10 m breite Öffnungen zum Ein- und Auslaufen der Schiffe vorhanden sind. Ähnlich verhält es sich noch, wenn du z.B. im Abstand von 1 m von deinem Kopf 2 gleichartige Lautsprechermembranen im Abstand von 50 cm voneinander aufstellst (keine Stereoanlage, sondern aus beiden kommt exakt der selbe Ton).
Ganz anders bei Betrachtungen mit Licht: Weil die Wellenlänge so klein ist und zwischen die beiden Quellen nur ein paar Wellenlängen passen sollen (sonst wird das Interferenzmuster von Minima und Maxima übersät), wird g sehr klein im Verhältnis zu L gewählt (L groß, damit x groß, damit Messfehler kaum eine Rolle spielen). Deshalb gehen dann die beiden Strahlen a und b - weil sie erst "ganz weit weg" zusammentreffen - so gut wie parallel ab. Bilden Sie mit L den Winkel [mm] \alpha, [/mm] so ist die Wegdifferenz damit praktisch g*sin [mm] \alpha. [/mm]
Weil tan [mm] \alpha=x/L [/mm] ist, lässt sich aus der Messung von x und L dann [mm] \alpha [/mm] und über sin [mm] \alpha [/mm] und g dann die Wegdifferenz ermitteln. Bei einem Maximum bei x ist diese dann gerade [mm] k*\lambda [/mm] (k ganzzahlig). Trotz der Ungenauigkeit (die Strahlen verlaufen nicht exakt parallel) gehören diese Messungen mit zu den genauesten in der Physik!
Ist der Winkel [mm] \alpha [/mm] nicht sehr groß (z.B. kleiner als 5 °), so verzichtet man sogar auf die Umrechnung von tan auf sin und setzt tan [mm] \alpha [/mm] = sin [mm] \alpha. [/mm] Bei größeren Winkeln wird der Fehler allerdings sehr groß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Do 26.04.2007 | | Autor: | oli_k |
Alles klar,
das wars dann in dieser Diskussion :)
Habe alles verstanden, vielen Dank euch allen.
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