Sobolev/L2- Ungleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zu Zeigen ist:
[mm] ||u||_{C^{0}(I)} \le \wurzel{b-a} ||u||_{H^{1}(I)} [/mm] mit I = (a,b) |
[mm] -\infty
[mm] a\le [/mm] y< [mm] x\le [/mm] b
Folgendes haben wir in der Vorlesung schon gemacht:
|u(x)| [mm] \le \bruch{1}{(b-a)} (\integral_{a}^{b}{|u(x)-u(y)| dy}) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{|u(y)| dy} \le \bruch{1}{(b-a)} (\integral_{a}^{b}{|\integral_{y}^{x}{u'(t) dt}| dy} [/mm] + [mm] c_{2}||u||_{L^{2}} [/mm] ) [mm] \le c_{3} (\integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{|u'(t)| dt} dy} [/mm] + [mm] ||u||_{L^{2}}) \le c_{4} (||u'||_{L^{2}} [/mm] + [mm] ||u||_{L^{2}}) \le c_{5} ||u||_{H^{1}}
[/mm]
Im Prinzip muss ich die Rechnung durchgehen und am Ende sollte rauskommen dass [mm] c_{5} [/mm] = [mm] \wurzel{b-a}.
[/mm]
Bis jetzt habe ich folgendes:
|u(x)| [mm] \le \bruch{1}{(b-a)} (\integral_{a}^{b}{|u(x)-u(y)| dy}) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{|u(y)| dy} \le \bruch{1}{(b-a)} (\integral_{a}^{b}{|\integral_{y}^{x}{u'(t) dt}| dy} [/mm] + [mm] \wurzel{b-a}||u||_{L^{2}} [/mm] ) [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{b-a}} (||u'||_{L^{2}} [/mm] (b-a) + [mm] ||u||_{L^{2}})
[/mm]
Die letzte Ungleichung folgt mit folgender Abschätzung:
[mm] |\integral_{y}^{x}{u'(t) dt}| \le \integral_{y}^{x}{|u'(t)| dt} \le \integral_{a}^{b}(|u'(t)|dt [/mm] = [mm] ||u'||_{L^{1}}
[/mm]
und dann mit Cauchy- Schwarz
Ich denke einfach mal, dass ich mich irgendwo verzettelt hab und deswegen nicht auf das Ergebnis komme. Ich hoffe ich hab mich beim aufschreiben nicht verschrieben, es ist spät. :( Mit den Normen [mm] ||u||_{L^{1}} [/mm] und [mm] ||u||_{L^{2}} [/mm] sind jeweils die bekannten [mm] L^{1} [/mm] bzw. [mm] L^{2} [/mm] Normen gemeint, [mm] ||u||_{H^{1}} [/mm] bezeichnet die Sobolev- Norm.
Über Tipps und/ oder Fehlerhinweise freue ich mich!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 11.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
