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Skript unverständlich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Do 28.01.2010
Autor: Sea2605

Hi !
Habe in meinem Skript folgendes stehen:

Def:
Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn es ein endliches System
(v1,...,vr) [mm] \in [/mm] V gibt, dass V erzeugt. d.h. es gilt <v1,...,vr>.

Nach meinem Verständnis heißt das, dass ein VR dann "endlich erzeugt"
heißt, wenn es ein Erzeugendensys (bestehend aus v1-vr bzw. aufgespannt durch sie) hat.

Hat das nicht jeder VR?! Das liest sich so, als ob es auch VR ohne gäbe.
Ich dachte immer, dass jeder VR eine Basis (=minimales EZS =reduziertes
EZS) hat.

Könntet ihr mir ein Gegenbeispiel nennen?!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Skript unverständlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Do 28.01.2010
Autor: angela.h.b.

Hallo,

es geht um endlich erzeugt.

Unendlichdimensionale VRe sind halt nicht endlich erzeugt.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Skript unverständlich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Do 28.01.2010
Autor: Sea2605

heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
ergo auch kein Erzeugendensys?
tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch nicht,
würde mich aber brennend interessieren.

Bezug
                        
Bezug
Skript unverständlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Do 28.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
>  ergo auch kein Erzeugendensys?

Nein, es bedeutet, dass ein unendlicher Vektorraum keine endliche Basis hat und damit auch kein endliches Erzeugendensystem. Eine Basis eines unendlichen Vektorraums enthält unendlich viele Elemente.

Viele Grüße
   Rainer

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Bezug
Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:12 Fr 29.01.2010
Autor: felixf

Moin Rainer,

du hast da zweimal -dimensional vergessen:

> Nein, es bedeutet, dass ein unendlichdimensionaler Vektorraum keine
> endliche Basis hat und damit auch kein endliches
> Erzeugendensystem. Eine Basis eines unendlichdimensionalen Vektorraums
> enthält unendlich viele Elemente.

LG Felix


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Skript unverständlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Fr 29.01.2010
Autor: fred97


> heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
>  ergo auch kein Erzeugendensys?
>  tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch
> nicht,
>  würde mich aber brennend interessieren.


Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis

FRED

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Bezug
Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:40 Fr 29.01.2010
Autor: felixf

Hallo Fred!

> > heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
>  >  ergo auch kein Erzeugendensys?
>  >  tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen noch
> > nicht,
>  >  würde mich aber brennend interessieren.
>
>
> Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis

Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.

(Aber gerade als Funktionalanalytiker sollte man das ;) )

LG Felix


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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:45 Fr 29.01.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
> > > heißt das, dass unendliche VR keine Basis mehr haben,
>  >  >  ergo auch kein Erzeugendensys?
>  >  >  tschuldige die frage, soweit bin ich mitm lernen
> noch
> > > nicht,
>  >  >  würde mich aber brennend interessieren.
> >
> >
> > Man kann zeigen: jeder Vektorraum hat eine Basis
>  
> Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
>  
> (Aber gerade als Funktionalanalytiker sollte man das ;) )
>  
> LG Felix
>  


Hallo Felix

Ja ans Auswahlaxiom glaube ich. Du hast natürlich recht. Aber dieses Axiom habe ich so "verinnerlicht", dass ich oft (so auch oben) gar nicht daran denke, es "in Frage zu stellen"

Gruß FRED

Bezug
                                                
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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Fr 29.01.2010
Autor: felixf

Hallo Fred!

> Ja ans Auswahlaxiom glaube ich. Du hast natürlich recht.
> Aber dieses Axiom habe ich so "verinnerlicht", dass ich oft
> (so auch oben) gar nicht daran denke, es "in Frage zu
> stellen"

Das geht mir meistens sehr aehnlich...

Ich hatte vorhin beim Schreiben der Nachricht etwas nachgeschaut, das Auswahlaxiom ist offenbar aequivalent dazu, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (Blass, A., 1984. "Existence of bases implies the axiom of choice," in Axiomatic Set Theory, Baumgartner, Martin and Shelah (eds.), AMS, pp. 31-33.). Mir war das bisher noch nicht bekannt, aber es ist gut zu wissen :)

LG Felix


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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:40 Fr 29.01.2010
Autor: fred97

Hallo Felix,

dann interessiert Dich sicher auch []dies



FRED



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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mi 03.02.2010
Autor: felixf

Hallo zusammen,

> Ich hatte vorhin beim Schreiben der Nachricht etwas
> nachgeschaut, das Auswahlaxiom ist offenbar aequivalent
> dazu, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (Blass, A.,
> 1984. "Existence of bases implies the axiom of choice," in
> Axiomatic Set Theory, Baumgartner, Martin and Shelah
> (eds.), AMS, pp. 31-33.). Mir war das bisher noch nicht
> bekannt, aber es ist gut zu wissen :)

wen's interessiert, das Paper laesst sich []von der Homepage des Autors herunterladen.

Der Beweis ist auch nicht sonderlich kompliziert. :)

LG Felix


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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Fr 29.01.2010
Autor: SEcki


> Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.

Immer diese Aussage ... ich habe bisher niemanden, dessen Hauptarbeitsgebiet nicht Logik ist, an dem AoC zweifeln sehn. Ihr? Ich fände es jedenfalls mal cool, bei einem Satz zu sagen "Aber nur, wenn du an das Fundierungsaxiom glaubst!" - wäre mal ne Abwechslung.

SEcki

Bezug
                                                
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Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Sa 30.01.2010
Autor: felixf

Moin SEcki!

> > Wenn man an's Auswahlaxiom glaubt, ja.
>  
> Immer diese Aussage ... ich habe bisher niemanden, dessen
> Hauptarbeitsgebiet nicht Logik ist, an dem AoC zweifeln
> sehn. Ihr?

Ich akzeptiere das Auswahlaxiom, hab aber auch im Hinterkopf dass es unabhaengig von den restlichen Axiomen ist. Manchmal reizt es mich dann, darueber nachzudenken, was man eigentlich alles ohne das Axiom machen kann.

> Ich fände es jedenfalls mal cool, bei einem
> Satz zu sagen "Aber nur, wenn du an das Fundierungsaxiom
> glaubst!" - wäre mal ne Abwechslung.

Das stimmt :) Allerdings macht das Fundierungsaxiom spontan "mehr Sinn" als das Auswahlaxiom. Gerade, wenn man bedenkt, wozu das Auswahlaxiom aequivalent ist, ist das Auswahlaxiom doch eine sehr starke Aussage.

Ich finde es immer schoen zu wissen, welche Aussagen man auch ohne das Auswahlaxiom bekommt, und welche (mit bisher bekannten Mitteln) nicht, und welche definitiv nicht (weil sie aequivalent zum Auswahlaxiom sind).

LG Felix


Bezug
                                                        
Bezug
Skript unverständlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Sa 30.01.2010
Autor: SEcki


> Ich akzeptiere das Auswahlaxiom, hab aber auch im
> Hinterkopf dass es unabhaengig von den restlichen Axiomen
> ist.

Klar, so ein bisschen Grundlagenlogik ist ja nett, will ich gar nicht abschreiten. ;)

> Manchmal reizt es mich dann, darueber nachzudenken,
> was man eigentlich alles ohne das Axiom machen kann.

Ich sag doch - das was manche Logiker machen! Anstatt dem AoC kann man das countable AoC nehmen und schaun, wie weit man kommt. Und schaun, was dann noch alles äquivalent ist - hier finde ich wieder einmal diesen Abschnitt im Wiki ziemlich eindrucksvoll.

> Das stimmt :) Allerdings macht das Fundierungsaxiom spontan
> "mehr Sinn" als das Auswahlaxiom.

Öhm, spontan fand ich immer, das das AoC mehr Sinn macht als das Fundierungsaxiom. Ich find das AoC so wie es da steht sehr natürlich, wobei natürlich ...

> Gerade, wenn man bedenkt,
> wozu das Auswahlaxiom aequivalent ist, ist das Auswahlaxiom
> doch eine sehr starke Aussage.

... das hier manches relativiert. :)

SEcki

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