Sklarprodukt Umwandeln --- < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 08.06.2026 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Wie kann man die herkömmliche Sinus-Formel in die herkömmliche Skalarprodukt-Formel umwandeln? |
Moin Moin,
im Zusammenhang mit der Berechnung eines Schnittwinkels einer Geraden mit einer Ebene mit
dem Normalenvektor der Ebene [mm] \vec{n} [/mm]
und
dem Richtungsvektor der Geraden [mm] \vec{u}
[/mm]
fiel mir spontan ein:
[mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}
[/mm]
[mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ | \vec{n} |}{ | \vec{u} |}.
[/mm]
Meine Frage, wie kann man diesen Ansatz in die herkömmliche Skalarprodukt-Formel umwandeln, für den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene? D.h.
[mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ | \vec{n} \circ \vec{u}|}{ | \vec{n} |*| \vec{u} |}.
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Di 09.06.2026 | | Autor: | Infinit |
Moin moin hase-hh,
Bei der Berechnung macht man eigentlich einen kleinen Umweg, der aber das Rechnen vereinfacht.
Das Skalarprodukt berechnet über den Cosinus den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Geradenvektor der Gerade. Dies ist zwar schön und gut, aber diesen Winkel möchtest Du ja gar nicht wissen, sondern den Winkel zwischen der Gerade und der Ebene. Du berechnest also über den Kosinus
[mm] \cos(\alpha) = \bruch{\left| \vec{n} \circ \vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\vec{u}\right|} [/mm]
Der Winkel, den Du suchst, ist aber gerade der Komplementärwinkel zu 90 Grad zu dem eben berechneten Winkel, und Da nutzt man einfach
[mm] \cos(90 - \alpha) = \sin(\alpha) [/mm]
Das ist der ganze "Trick".
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Di 09.06.2026 | | Autor: | hase-hh |
Das ist sicher so.
Meine Idee war, dass der "einfache" Sinus einen Ansatz liefert.
Mittlerweile denke ich allerdings, dass die Länge des Normalenvektors der Ebene bzw. die Länge des Richtungsvektors der Geraden nicht gleich der Länge der Hypotenuse bzw. der Gegenkathete ist.
Daher scheint mir mein Ansatz nicht zu funktionieren. = > Und daher auch die Überführung / Umformung in die bekannte Skalarprodukt-Formel.
Hier [mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\left| \vec{n} \circ \vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\vec{u}\right|}
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 11.06.2026 | | Autor: | Infinit |
Moin, moin hase-hh,
die Idee mit dem Sinus ist natürlich naheliegend, aber Du hast ja selbst schon Dir die Begründung gegeben, weswegen dies hier nicht so einfach funktioniert.
Viele Grüße aus Südhessen,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Sa 13.06.2026 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
Nachdem ich mich schließlich gefragt habe, wie man die Skalarproduktformel herleiten kann... und herausgefunden habe, dass dies über den Kosinussatz geschieht... ist alles klar.
Wenn man bspw. den Schnittwinkel zw. Gerade und Gerade oder Ebene und Ebene bestimmen will...
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ |\vec{a}\circ\vec{b}|}{ |\vec{a} |. |\vec{b}|}
[/mm]
Wenn man bspw. den Schnittwinkel zw. Gerade und Ebene bestimmen will...
Nimmt man den anderen Nicht-90°-Winkel und verwendet den Sinus...
[mm] sin(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{ |\vec{a}\circ\vec{b}|}{ |\vec{a} |. |\vec{b}|}
[/mm]
Danke & Viele Grüße !!
|
|
|
|
