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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 22.07.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen M1 = {z ∈ [mm] \IC| [/mm] |z − 3 + i| ≦ 2} und M2 = {z ∈ [mm] \IC| [/mm] |z − 2 + 2i| ≦ |z − 6|}
in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie $ [mm] M1\cap [/mm] M2 $.
Lösungsschaubild: [Dateianhang nicht öffentlich] |
Soweit bin ich gekommen: M1 ist die Menge aller Punkte "unter" der Geraden $z=-i+5$ (durch Umstellen der Ungleichung). Allerdings verwirren mich die Betragsstriche um z-3+i ein wenig.
Wie aber komme ich von M2 = {z ∈ [mm] \IC| [/mm] |z − 2 + 2i| ≦ |z − 6|} aus zu einer Kreisgleichung?
Besten Dank im voraus für eure Antworten!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Gegeben sind die Mengen M1 = {z ∈ [mm] \IC||z [/mm] − 3 + i| ≦ 2} und M2 = {z [mm] ∈\IC| [/mm] |z − 2 + 2i| ≦ |z − 6|}
> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie [mm]M1\cap M2 [/mm].
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> Lösungsschaubild: [Dateianhang nicht öffentlich]
> Soweit bin ich gekommen: M1 ist die Menge aller Punkte
> "unter" der Geraden [mm]z=-i+5[/mm] (durch Umstellen der
> Ungleichung). Allerdings verwirren mich die Betragsstriche
> um z-3+i ein wenig.
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> Wie aber komme ich von M2 = {z [mm] ∈\IC [/mm] |z − 2 + 2i| ≦ |z − 6|} aus zu einer Kreisgleichung?
Hallo,
da scheint mir einiges schiefgelaufen zu sein.
Gucken wir uns zuerst [mm] M_1 [/mm] an: gesucht sind alle komplexen Zahlen z mit |z − 3 + i| ≦ 2.
Jetzt würde ich mir erstmal z schreiben als z=x+iy und in der Folge versuchen, über die x und y etwas herauszubekommen.
Es soll also |x+iy − 3 + i| ≦ 2 <==> [mm] |(x-3)+(y+1)i|\le [/mm] 2.
Nun solltest Du noch wissen, was der Betrag eine komplexen Zahl ist: [mm] |r+is|=\wurzel{(r+is)(r-is)}=\wurzel{r²+s²}, [/mm] also Realteil und Imaginärteil quadrieren und addieren, dann die Wurzel ziehen.
Mit dieser Anleitung solltest Du eigentlich erstmal etwas weiterkommen, und sie sollte Dir auch für [mm] M_2 [/mm] nützlich sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 22.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
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> da scheint mir einiges schiefgelaufen zu sein.
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> Gucken wir uns zuerst [mm]M_1[/mm] an: gesucht sind alle komplexen
> Zahlen z mit |z − 3 + i| ≦ 2.
>
> Jetzt würde ich mir erstmal z schreiben als z=x+iy und in
> der Folge versuchen, über die x und y etwas
> herauszubekommen.
Warum sollte er nicht direkt aus [mm] $|z-3+i|\leq [/mm] 2$ auf [mm] $|z-(3-i)|\leq [/mm] 2$ und daher für [mm] $M_1$ [/mm] auf die Kreisscheibe mit Mittelpunkt $3-i$ und Radius $2$ schliessen dürfen: und diese Kreisscheibe scheint er doch eingezeichnet zu haben.
Bei [mm] $M_2$ [/mm] bin ich da schon weniger einverstanden: [mm] $M_2$ [/mm] ist ja die Menge der $z$, die vom Punkt [mm] $z_1:= [/mm] 2-2i$ nicht grösseren Abstand haben als vom Punkt [mm] $z_2 [/mm] := 6$. Der Rand dieses Gebietes ist natürlich die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$. [/mm] - Gut, man kann dies sicher auch schön brav algebraisch zeigen...
Nachtrag: (1. Revision) Ich scheine kein genügend gutes Augenmass für die Mittelsenkrechte von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] zu besitzen. Denn die Grenzlinie von [mm] $M_2$ [/mm] die er eingezeichnet hat, scheint in einer Skizze, die ich mit GeoGebra angefertigt habe, doch richtig zu sein: und damit das ganze Gebiet [mm] $M_2$ [/mm] bzw. die Schnittmenge [mm] $M_1\cap M_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Di 22.07.2008 | | Autor: | bigalow |
Danke vielmals!
Also für [mm] M_1 [/mm] komme ich damit auf [mm] $\wurzel{(x-3)²+(y+1)}\le2$ [/mm] -> quadriert dann die gesuchte "Kreisgleichung" [mm] $(x-3)²+(y+1)\le4$
[/mm]
Für [mm] M_2 [/mm] bin ich nach ein wenig Rechnen zu [mm] $y\le-2x+7$ [/mm] gekommen.
Danke auch an somebody für den alternativen Lösungsweg.
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