Skizzieren von DGL Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 07.08.2011 | | Autor: | ElRon91 |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^2 [/mm] betrachten wir die lineare Differentialgleichung
x' =Ax , [mm] A=\pmat{ -7 & 10 \\ -5 & 8 } [/mm] (2)
(a) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von (2) mit [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] x(t)=0
(b) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von (2) mit [mm] \limes_{t\rightarrow\ - infty} [/mm] x(t)=0
(c) Skizzieren Sie die Lösung von (2). |
Hallo also ich habe ein Problem mit dem Aufgabenteil (c), ich bin mir ganz allgemein einfach nicht sicher wie man hier vorgehen soll. Ich habe die Lösung aber mich interessiert was für generelle Schritte man machen muss bei einer solchen Aufgabe. Die Lösungen zu den vorigen Aufgabenteilen sind:
[mm] x1(t)=C*exp(-2t)*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] x2(t)=C*exp(3t)*\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Würde mich über jede Hilfe freuen. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Di 09.08.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Im [mm]\IR^2[/mm] betrachten wir die lineare Differentialgleichung
> x' =Ax , [mm]A=\pmat{ -7 & 10 \\ -5 & 8 }[/mm] (2)
> (a) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von (2) mit
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm] x(t)=0
> (b) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von (2) mit
> [mm]\limes_{t\rightarrow\ - infty}[/mm] x(t)=0
> (c) Skizzieren Sie die Lösung von (2).
> Hallo also ich habe ein Problem mit dem Aufgabenteil (c),
> ich bin mir ganz allgemein einfach nicht sicher wie man
> hier vorgehen soll. Ich habe die Lösung aber mich
> interessiert was für generelle Schritte man machen muss
> bei einer solchen Aufgabe. Die Lösungen zu den vorigen
> Aufgabenteilen sind:
> [mm]x1(t)=C*exp(-2t)*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]x2(t)=C*exp(3t)*\vektor{2 \\ 1}[/mm]
Sind die Lösungen nicht
[mm]x_1(t)=C*exp(-2t)*\vektor{2 \\ 1}[/mm]
[mm]x_2(t)=C*exp(3t)*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
?
Ein Fundalmentalsystem von (2) ist [mm] $f_1(t)=exp(-2t)*\vektor{2 \\ 1}, f_2(t)=exp(3t)*\vektor{1 \\ 1}$.
[/mm]
Lösungen von (2) sind $x(t) = [mm] C_1*exp(-2t)*\vektor{2 \\ 1}+C_2*exp(3t)*\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] mit [mm] $C_1, C_2 \in \IR$.
[/mm]
Systematisches Vorgehen bei linearen, homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie (2):
1. Bestimme die Eigenwerte [mm] $\lambda_i$ [/mm] der Matrix A
2. Bestimme die zugehörigen Eigenvektoren [mm] $v_i$
[/mm]
3. Daraus ergibt sich ein Fundalmentalsystem [mm] $\{exp(\lambda_i)*v_i | i \in \IN_n \}$ [/mm] (bei (2) n=2)
4. Lösungen sind Linearkombinationen der Funktionen des Fundalmentalsystems
Vergleiche ein ![[]](/images/popup.gif) Beispiel.
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> Würde mich über jede Hilfe freuen. :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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