Skalenerträge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 01.07.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] A(x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*(x_{2})^{d} [/mm] mit Parametern A>0, c>0 und d>0.
Zeigen Sie, dass f abnehmende Skalenerträge hat, wenn c+d [mm] \le [/mm] |
Liebes Forum,
abnehmende Skalenerträge sind definiert als:
[mm] t*(f(x_{1}, x_{2})) [/mm] > [mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm]
mit t>1
Die Idee ist es erst [mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm] zu definieren und es durch Umformung auf eine Form ähnlich zu [mm] t*(f(x_{1}, x_{2})) [/mm] um anschließend die obige Bedingung zu überprüfen.
In unserer Lösung wurde folgendes geschrieben:
[mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm] = [mm] A(t*x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*(t* x_{2})^{d} [/mm] < [mm] A(t*x_{1} [/mm] + t [mm] )^{c}*(t* x_{2})^{d} [/mm] (da t>1)
= [mm] A*t^{c}*(x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*t^{d}*x_{2}^{d}
[/mm]
= [mm] t^{c+d}*A(x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*(x_{2})^{d}
[/mm]
= [mm] t^{c+d}*(f(x_{1}, x_{2})) \le t*(f(x_{1}, x_{2})) [/mm] , da c+d [mm] \le [/mm] 1
Da also [mm] t*(f(x_{1}, x_{2})) [/mm] > [mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm] handelt es sich um abnehmende Skalenerträge.
Ich verstehe leider nicht wieso man das dickgedruckte t einfach einsetzen kann bei
[mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm] = [mm] A(t*x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*(t* x_{2})^{d} [/mm] < [mm] A(t*x_{1} [/mm] + t [mm] )^{c}*(t* x_{2})^{d} [/mm] (da t>1)
und dann mit der Funktion rechts von der Ungleichung weiterrechnet.
Meine Idee für einen Erklärungsansatz wäre: Man kann [mm] f(t*x_{1}, t*x_{2}) [/mm] = [mm] A(t*x_{1} [/mm] + [mm] 1)^{c}*(t* x_{2})^{d} [/mm] nicht auf eine Form ähnlich zu [mm] t*(f(x_{1}, x_{2})) [/mm] bringen. Deshalb bedient man sich einer "Ersatz"-Funktion [mm] A(t*x_{1} [/mm] + t [mm] )^{c}*(t* x_{2})^{d}, [/mm] die größer als die "originale" Funktion ist. Wenn die "Ersatzunktion" jetzt kleiner als [mm] t*(f(x_{1}, x_{2})), [/mm] dann ist die "originale" Funktion erst recht kleiner, sodass wir die Bedingung für abnehmede Skalenerträge erfüllt haben.
Was meint ihr?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Fr 01.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion [mm]f(x_{1}, x_{2})[/mm] = [mm]A(x_{1}[/mm] +
> [mm]1)^{c}*(x_{2})^{d}[/mm] mit Parametern A>0, c>0 und d>0.
>
> Zeigen Sie, dass f abnehmende Skalenerträge hat, wenn c+d
> [mm]\le[/mm]
> Liebes Forum,
>
> abnehmende Skalenerträge sind definiert als:
>
> [mm]t*(f(x_{1}, x_{2}))[/mm] > [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm]
>
> mit t>1
>
> Die Idee ist es erst [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm] zu definieren und
> es durch Umformung auf eine Form ähnlich zu [mm]t*(f(x_{1}, x_{2}))[/mm]
> um anschließend die obige Bedingung zu überprüfen.
>
> In unserer Lösung wurde folgendes geschrieben:
>
> [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm] = [mm]A(t*x_{1}[/mm] + [mm]1)^{c}*(t* x_{2})^{d}[/mm] <
> [mm]A(t*x_{1}[/mm] + t [mm])^{c}*(t* x_{2})^{d}[/mm] (da t>1)
>
> = [mm]A*t^{c}*(x_{1}[/mm] + [mm]1)^{c}*t^{d}*x_{2}^{d}[/mm]
>
> = [mm]t^{c+d}*A(x_{1}[/mm] + [mm]1)^{c}*(x_{2})^{d}[/mm]
>
> = [mm]t^{c+d}*(f(x_{1}, x_{2})) \le t*(f(x_{1}, x_{2}))[/mm] , da
> c+d [mm]\le[/mm] 1
>
> Da also [mm]t*(f(x_{1}, x_{2}))[/mm] > [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm] handelt
> es sich um abnehmende Skalenerträge.
>
>
> Ich verstehe leider nicht wieso man das dickgedruckte t
> einfach einsetzen kann bei
>
> [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm] = [mm]A(t*x_{1}[/mm] + [mm]1)^{c}*(t* x_{2})^{d}[/mm] <
> [mm]A(t*x_{1}[/mm] + t [mm])^{c}*(t* x_{2})^{d}[/mm] (da t>1)
>
> und dann mit der Funktion rechts von der Ungleichung
> weiterrechnet.
>
> Meine Idee für einen Erklärungsansatz wäre: Man kann
> [mm]f(t*x_{1}, t*x_{2})[/mm] = [mm]A(t*x_{1}[/mm] + [mm]1)^{c}*(t* x_{2})^{d}[/mm]
> nicht auf eine Form ähnlich zu [mm]t*(f(x_{1}, x_{2}))[/mm]
> bringen. Deshalb bedient man sich einer "Ersatz"-Funktion
> [mm]A(t*x_{1}[/mm] + t [mm])^{c}*(t* x_{2})^{d},[/mm] die größer als die
> "originale" Funktion ist. Wenn die "Ersatzunktion" jetzt
> kleiner als [mm]t*(f(x_{1}, x_{2})),[/mm] dann ist die "originale"
> Funktion erst recht kleiner, sodass wir die Bedingung für
> abnehmede Skalenerträge erfüllt haben.
>
> Was meint ihr?
Ja, genau so ist das.
FRED
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>
> LG
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> Mathics
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