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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 29.10.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Sei V der Skalarproduktraum C([-1; 1]) mit dem Skalarprodukt [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}
[/mm]
a) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Funktionen [mm] f_{0}(x) [/mm] = 1, [mm] f_{1}(x) [/mm] = x und [mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] an.
b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion der Funktion g(x) = sin x auf den von [mm] f_{0}, f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] aufgespannten
Unterraum von V . |
Also das Gram-Schmidt-Verfahren kenne ich, habe es bisher auf Vektoren angewendet und weiß jetzt absolut nicht was ich machen soll.
Könnte mir einer vielleicht an einem Beispiel erklären, was man machen muss?
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> Sei V der Skalarproduktraum C([-1; 1]) mit dem
> Skalarprodukt [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
>
> a) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Funktionen
> [mm]f_{0}(x)[/mm] = 1, [mm]f_{1}(x)[/mm] = x und [mm]f_{2}(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] an.
>
> b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion der Funktion
> g(x) = sin x auf den von [mm]f_{0}, f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm]
> aufgespannten
> Unterraum von V .
> Also das Gram-Schmidt-Verfahren kenne ich, habe es bisher
> auf Vektoren angewendet und weiß jetzt absolut nicht was
> ich machen soll.
>
> Könnte mir einer vielleicht an einem Beispiel erklären,
> was man machen muss?
>
Hallo!
Du betrachtest hier den Vektorraum der Polynome 2. Grades.
Die Definition deines Skalarproduktes hast du bereits hingeschrieben.
> Skalarprodukt <f(x),g(x)>= [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
zuerst gilt: <f1,f1> = [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x)f(x) dx}=2
[/mm]
dann: <f1,f2> wieder das Integral berechnen und Gram Schmitt anwenden.
Berechne danach f2(n) n soll für normiert stehen.
Dann den Betrag von f2(n)
Hier musst du allerdings beachten: ||f2(n) || ^{2} = [mm] \integral_{-1}^{1}{f2(n) f2(n) dx}=
[/mm]
usw...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 29.10.2011 | | Autor: | engels |
Mein Problem ist ja grade, dass ich nicht weiß, wie ich das Gram-Schmidt-Verfahren auf f0,f1,f2 anwenden soll.
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> Mein Problem ist ja grade, dass ich nicht weiß, wie ich
> das Gram-Schmidt-Verfahren auf f0,f1,f2 anwenden soll.
Genau so wie wenn du Vektoren hättest.
Das System funktioniert genau so.
[mm] n_{1}=f_{1}
[/mm]
[mm] n_{2}=f_{2}-\bruch{}{||n_{1}||^{2}}*n_{1}
[/mm]
....
Im ersten post habe ich dir bereits geschrieben wie der Betrag in diesem Fall zu berechnen ist.
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