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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 Do 12.11.2009 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Mir fehlt bei der Aufgabe der Ansatz:
Gegeben sei ein Endomorphismus f : [mm] \mathbb R^n \to \mathbb R^n, [/mm] für dessen zugehörige Matrix A [mm] \in \mathbb R^{n,n} [/mm] die Gleichung [mm] A^3A^t [/mm] = -E gelte.
(a) Zeigen Sie, dass daraus n = 2m mit m [mm] \in \mathbb [/mm] N folgt und die Matrix A orthogonal ist.
(b) Weisen Sie nach, dass [mm] \langle [/mm] Ax, [mm] x\rangle [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \mathbb R^n [/mm] gilt.
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Orthogonal ist Mir klar. Ich verstehe nicht, was ich überhaupt zeigen (und wie), dass aus der Definition n = 2m mit folgt.
zur (b)
Ich fällt mir nur der Ansatz ein, dass
[mm] \langle [/mm] Ax, [mm] x\rangle [/mm] = x^tA^tx
ist, aber das bringt mich auch nicht weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
(*) $ [mm] A^3A^t [/mm] = -E$
Daraus folgt zunächst, dass A invertierbar ist und, dass [mm] $A^{t}= -(A^{-1})^3 [/mm] ist. Insbesondere ist A mit [mm] A^t [/mm] vertauschbar.
Behauptung: A hat keinen reellen Eigenwert.
Beweis: Annahme, s [mm] \in \IR [/mm] sei ein Eigenwert von A. Sei x [mm] \in \IR^n [/mm] mit x [mm] \not=0 [/mm] und $Ax = sx$
Weil A mit [mm] A^t [/mm] vertauschbar ist, erhalten wir:
[mm] $||A^tx-sx||^2= <(A^t-sE)x, (A^t-sE)x>= <(A-sE)(A^t-sE)x,x>= <(A^t-sE)(A-sE)x,x>= [/mm] 0$
Also ist $A^tx=sx$. Aus (*) folgt dann:
$-x = -Ex = A^3A^tx = s^4x$
Da A invertierbar ist, ist s [mm] \not= [/mm] 0 und somit [mm] s^4 [/mm] = -1, Widerspruch !
(**) A hat also keine reellen Eigenwerte.
Sei p das charakteristische Pölynom von A. Wegen (**) ist p das Produkt von Polynomen 2. Grades, die in [mm] \IR [/mm] nullstellenfrei sind. Somit ist der Grad von p gerade. Andererseits ist der Grad von p = n. Somit ist n gerade.
Dass die Matrix A orthogonal ist, zeigst Du nun mal selbst ! Tipp: aus (*) folgt:
(***) [mm] $AA^t [/mm] = E [mm] \gdw A^2 [/mm] = -E$
Zu (b) Da A ortogonal ist, folgt mit (***):
$<Ax,x>= <Ax, A^tAx>= <A^2x,Ax>= -<x,Ax>= -<Ax,x>$
FRED
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