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| Aufgabe | | Was ist der Zusammenhang des Skalarprodukts mit der Norm? |
Wie in der Aufgabenstellung gesagt versuche ich den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm zu verstehen. Ich weiß natürlich, dass der Skalarprodukt eine Norm induziert. Aber so genau verstehe ich das ganze trotzdem nicht. Könnte man also sagen das Skalarprodukt eine Norm ist?
Wäre euch sehr dankbar für eine genaue Erklärung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Nein, das Skalarprodukt ist keine Norm, denn in eine Norm wird ein Element eines Vektorraums eingesetzt, in ein Skalarprodukt hingegen zwei.
Wie du aber bereits weißt induziert das Skalarprodukt eine Norm, also ist [mm] $<\cdot [/mm] , [mm] \cdot [/mm] >$ dein Skalrprodukt so ist mit [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{}$ [/mm] eine Norm definiert - solange eine Wurzel geeignet definiert ist, wir also zB über den reellen Zahlen sind.
Die Umkehrung gilt nicht, also es gibt normierte Vektorräume, auf denen man kein Skalarprodukt definieren kann.
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Shadow:
Sei (X,||*||) ein normierter Raum über [mm] \IK [/mm] (wobei [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IC).
[/mm]
Dann gilt:
Auf X kann man ein Skalarprodukt <*|*> mit [mm] ||x||^2= [/mm] einführen [mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2) [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X.
(Parallelogrammgleichung).
Beweis:
Fall 1: [mm] \IK=\IR.
[/mm]
Setze [mm] :=\bruch{1}{4}( ||x+y||^2-||x-y||^2) [/mm] und rechne es nach.
Fall 1: [mm] \IK=\IC.
[/mm]
Setze [mm] :=\bruch{1}{4}( ||x+y||^2-||x-y||^2+i||x+iy||^2-i||x-iy||^2) [/mm] und rechne es nach.
FRED
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