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| Aufgabe | Hallo, hier erst einmal meine Aufgabe:
Betrachte das Standardskalarprodukt im folgenden Untervektorraum
[mm] U=span<{v_1,v_2,v_3}> [/mm] mit [mm] v_1=\vektor{1\\0\\1\\0}, v_2=\vektor{0\\-1\\1\\1}, v_3=\vektor{0\\0\\3\\5}
[/mm]
Schreibe die Folgenden Vektoren in der Form [mm] \vec{x}=\vec{x_1}+\vec{x_2} [/mm] , wobei [mm] \vec{x_1}\in [/mm] U und [mm] \vec{x_2}\in U^{\perp}.
[/mm]
[mm] a=\vektor{1\\-1\\5\\6}, b=\vektor{6\\-2\\-4\\3}, c=\vektor{-10\\4\\10\\-6}.
[/mm]
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Ich hatte zu ersteinmal Schwierigkeiten die Aufgabenstellung überhaupt zu verstehen. Aber jetzt vermute ich mal , dass ich folgendes machen muss.
Ich soll:
Die Vektoren a,b und c so schreiben, dass [mm] v_1+v^{\perp}=a [/mm] ist und so weiter.
Versteht ihr die Aufgabe auch so?
Kann sonst leider niemanden mehr fragen.....
Weiterhin weiß ich nicht wie ich das anstellen soll.
Kann ich da einfach Gram-Schmidt anwenden und den orthogonalen Vektor mit einem Skalar multiplizieren, so dass die Summe a ergibt?
Also so meine ich das:
1.) Ich wende Gram-Schmidt an , um die orthogonalen Vektoren zu finden
2.) ich schreibe sie in der Form: [mm] v_1+v_1^{\perp}=a [/mm] , indem ich sie mit einem Skalar multipliziere,sodass die Gleichung dann stimmt.
is das so richtig? hab da eher bedenken. bin für jede hilfe dankbar.
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> Hallo, hier erst einmal meine Aufgabe:
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> Betrachte das Standardskalarprodukt im folgenden
> Untervektorraum
> [mm]U=span<{v_1,v_2,v_3}>[/mm] mit [mm]v_1=\vektor{1\\0\\1\\0}, v_2=\vektor{0\\-1\\1\\1}, v_3=\vektor{0\\0\\3\\5}[/mm]
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> Schreibe die Folgenden Vektoren in der Form
> [mm]\vec{x}=\vec{x_1}+\vec{x_2}[/mm] , wobei [mm]\vec{x_1}\in[/mm] U und
> [mm]\vec{x_2}\in U^{\perp}.[/mm]
> [mm]a=\vektor{1\\-1\\5\\6}, b=\vektor{6\\-2\\-4\\3}, c=\vektor{-10\\4\\10\\-6}.[/mm]
>
> Ich hatte zu ersteinmal Schwierigkeiten die
> Aufgabenstellung überhaupt zu verstehen. Aber jetzt
> vermute ich mal , dass ich folgendes machen muss.
> Ich soll:
>
> Die Vektoren a,b und c so schreiben, dass [mm]v_1+v^{\perp}=a[/mm]
> ist und so weiter.
> Versteht ihr die Aufgabe auch so?
Hallo,
nein.
Da steht ja nicht, daß Du sie schreiben sollst in der Form [mm] v_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] mit [mm] x_2\in U^{\perp},
[/mm]
sondern als Summe eines Vektors aus U und eines aus [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Dazu solltest Du erstmal eine Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] bestimmen.
Welche Eigenschaft haben die Vektoren, die in diesem Raum sind?
Wenn Du das weißt, ergibt sich gleich eine Möglichkeit zur Berechnung.
Gram-Schmidt brauchst Du hier nicht.
Sei [mm] \vektor{x\\y\\z\\t}\in U^{\perp}.
[/mm]
Dann gilt???
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 23.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
Little Gauss
Wenn du aus der Übung oder dem letzen Blatt die Lösung zu Aufgabe 48 hast, kannst du die so wie sie ist abschreiben, da da [mm] $U^{\perp}$ [/mm] genau gleich dem $ [mm] U^{\perp} [/mm] $ in dieser Aufgabe.
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@j3ssi:
du glaubst doch wohl kaum, dass man einfach die Lösung vom letzten Blatt abschreiben kann....? So dämlich ist Prof Scharlau sicherlich nicht.
Mir ging es mehr um die Aufgabenstellung. Ich fand sie etwas verwirrend.
Also brauche ich einfach nur irgendeinen Vektor aus U und einen aus [mm] U^{\perp}. [/mm] Die Vektoren zu [mm] U^{\perp} [/mm] habe ich alle schon.
@angela:
wolltest du das von mir hören?
nämlich:
wenn [mm] u^{\perp}=\vektor{x\\y\\z\\t}\in U^{\perp}, [/mm] dann ist [mm] =0.
[/mm]
Also die Vektoren haben die Eigenschaft, dass sie paarweise senkrecht zueinander stehen.
Meinst du ich soll daraus ein LGS erstellen?
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> @j3ssi:
> du glaubst doch wohl kaum, dass man einfach die Lösung
> vom letzten Blatt abschreiben kann....? So dämlich ist
> Prof Scharlau sicherlich nicht.
> Mir ging es mehr um die Aufgabenstellung. Ich fand sie
> etwas verwirrend.
> Also brauche ich einfach nur irgendeinen Vektor aus U und
> einen aus [mm]U^{\perp}.[/mm] Die Vektoren zu [mm]U^{\perp}[/mm] habe ich
> alle schon.
>
> @angela:
> wolltest du das von mir hören?
>
>
> nämlich:
> wenn [mm]u^{\perp}=\vektor{x\\y\\z\\t}\in U^{\perp},[/mm] dann ist
> [mm]=0.[/mm]
> Also die Vektoren haben die Eigenschaft, dass sie
> paarweise senkrecht zueinander stehen.
> Meinst du ich soll daraus ein LGS erstellen?
Hallo,
ja, so dacht' ich mir das.
Du bekommst doch daraus drei Gleichungen, und das System löst Du.
Gruß v. Angela
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hmmm.... ja, klingt irgendwie logisch. Hab irgendwie gedacht nicht gedacht, dass man das darf. Man man, die lineare Algebra ist wirklich ein Fach für sich. Es kommt mir alles so fremd vor. In der Analysis hab ich wesentlich weniger Probleme.
Mal eine Frage an dich angela:
War das bei dir am Anfang auch so? Bessert sich das mit der Zeit? Kriegt man irgendwann ein "Gefühl" für die Hochschul-Algebra?
Oder meinst du eher: Wenn ich das nicht packe, sollte ich besser ein anderes Fach wählen...?
P.S.: Vielen Dank für deine Hilfe.
Werd die Lösung heut abends noch posten.
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> Mal eine Frage an dich angela:
> War das bei dir am Anfang auch so?
Hallo,
ich war ein eher kleines Licht, und der Anfang war hart. Sehr hart.
Das lag daran, daß ich 1. das Arbeiten und 2. das sinnvolle Arbeiten erst lernen mußte.
t, zum Bestehen der Scheine hat's gut gereicht (gewisse Verfahren kann man sich anlernen), die Hausübungen habe ich mit Abschreiben bewältigt.
Z.B. dachte ich anfänglich, daß ich so einen Aufgabenzettel an einem Nachmittag lösen kann. Pustekuchen. Ich brauche für sowas Ewigkeiten. Mit Ruhe- und Reifungszeiten.
> Bessert sich das mit
> der Zeit?
Daß der Studienanfang als hart empfunden wird, geht ja nicht nur Dir so. Du hast genug mehr oder weniger verzweifelte Kommilitonen.
Oft braucht's eine Weile, bis man sich an die Arbeits- und Denkweise gewöhnt hat.
>Kriegt man irgendwann ein "Gefühl" für die
> Hochschul-Algebra?
"Man" ist so schwierig... Bei vielen läuft's nach einer Zeit besser.
> Oder meinst du eher: Wenn ich das nicht packe, sollte ich
> besser ein anderes Fach wählen...?
Ich kenne Dich ja gar nicht - und ich habe zu wenig von Dir gelesen, um mir ein Urteil erlauben zu wollen.
Generell denke ich, daß man mal das zweite Semester noch abwarten kann, die Semesterferien zum Nacharbeiten nutzen,
eventuell auch die erste Vorlesung ein zweites Mal hören.
Aber ich finde nicht, daß man auf Biegen und Brechen an der einmal getroffenen Studienwahl festhalten sollte, wenn es doch weder Freude macht noch sich Erfolge zeigen. Meine Güte, ein "verlorenes" Jahr... Da redet in 5 Jahren keiner mehr davon, und Bafögs erlauben einen Fachwechsel auch, wenn es einem beizeiten einfällt.
Einen Irrtum ab und an kann man sich doch gönnen...
Gruß v. Angela
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Ich hab versucht einen Beweis zu führen bzgl. orthogonaler Komplemente.
Falls du mehr von mir lesen willst, der Artikel müsste unter der Rubrik "Moduln und Vektorräume" sein.
P.S.: Das klingt für mich schon mal sehr beruhigend, dass es dir genauso geht, vor allem, weil ich den Eindruck habe, dass du wirklich was auf dem Kasten hast.
Ja, das 2.Semester werd ich auf jeden Fall versuchen. Dann guck ich weiter.
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Also irgendwie bin ich jetzt durcheinander.
Du sagtest ja ich soll ein LGS aufstellen mit der Bedingung <v,u>=0
Das müsste ich dann ja nach u auflösen, da die [mm] v_i [/mm] ja bekannt sind.
Also ich bekam folgende ZSF heraus:
[mm] \pmat{1 & 0 & 1 & 0\\0&-1&1&1\\0&0&3&5}
[/mm]
dann setze ich [mm] u_4=t \in \IR [/mm] . Dann folgt:
[mm] u_3=-\bruch{5}{3}t
[/mm]
[mm] u_2=\bruch{2}{3}t
[/mm]
[mm] u_1=\bruch{5}{3}t
[/mm]
Also lautet die Lösung: [mm] \vec{u}=\bruch{1}{3}*t*\vektor{5\\2\\-5\\3}
[/mm]
Aber dann kam ich nicht weiter....
Was sagt mir dieser Vektor denn nun?
Ist [mm] \vec{u} [/mm] der Vektor , der zu allen [mm] v_i [/mm] senkrecht steht?
Muss ich jetzt noch mal ein LGS lösen, damit ich die Skalare ermitteln kann, so dass gilt: [mm] \vec{u}+\vec{v}=\vec{a} [/mm] ??
Irgendwie versteh ich nicht so recht was das alles soll?? :-(
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oder kann ich einfach das t so wählen, dass die Gleichung passt?
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> Also irgendwie bin ich jetzt durcheinander.
> Du sagtest ja ich soll ein LGS aufstellen mit der Bedingung
> <v,u>=0
> Das müsste ich dann ja nach u auflösen, da die [mm]v_i[/mm] ja
> bekannt sind.
>
> Also ich bekam folgende ZSF heraus:
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & 1 & 0\\0&-1&1&1\\0&0&3&5}[/mm]
>
> dann setze ich [mm]u_4=t \in \IR[/mm] . Dann folgt:
>
> [mm]u_3=-\bruch{5}{3}t[/mm]
>
> [mm]u_2=\bruch{2}{3}t[/mm]
>
> [mm]u_1=\bruch{5}{3}t[/mm]
>
> Also lautet die Lösung:
> [mm]\vec{u}=\bruch{1}{3}*t*\vektor{5\\2\\-5\\3}[/mm]
>
> Aber dann kam ich nicht weiter....
> Was sagt mir dieser Vektor denn nun?
Hallo,
wegen des t sind es ja viele Vektoren.
So sehen die Vektoren aus, die Dein GS lösen.
Sie bilden einen Vektorraum, nämlich [mm] U^{\perp}, [/mm] und eine Basis dieses Vektorraumes ist der Vektor [mm] v_4:=\vektor{5\\2\\-5\\3}.
[/mm]
> Ist [mm]\vec{u}[/mm] der Vektor , der zu allen [mm]v_i[/mm] senkrecht
> steht?
Ein Vektor, der zu allen Vektoren, die in U sind, senkrecht steht.
> Muss ich jetzt noch mal ein LGS lösen, damit ich die
> Skalare ermitteln kann, so dass gilt:
> [mm]\vec{u}+\vec{v}=\vec{a}[/mm] ??
Genau.
Jetzt löst Du a= [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3v_3+\mu_4v_4,
[/mm]
errechnest also die Koeffizienten.
Und wenn Du nun die ersten drei Summanden zusammenfaßt hast Du das gesuchte U, und [mm] \mu_4v_4 [/mm] ist das gesuchte [mm] \vec{v}.
[/mm]
> Irgendwie versteh ich nicht so recht was das alles soll??
> :-(
Zum einen sollst Du üben.
Zum anderen hat man oftmals das Bedürfnis, Vektoren so zu zerlegen, daß der eine Vektor senkrecht auf den anderen steht, z.B. bei Projektionen oder auch, wenn man spiegeln möchte.
Gruß v. Angela
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alles klar. hab das jetzt gemacht und bin auf die nächste hürde gestoßen.
ich bekomme [mm] \mu=0 [/mm] raus! Das darf aber nicht sein, da dass ja mein orthogonaler Vektor ist. Der darf ja nicht einfach wegfallen!
Was mach ich falsch?
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> alles klar. hab das jetzt gemacht und bin auf die nächste
> hürde gestoßen.
> ich bekomme [mm]\mu=0[/mm] raus! Das darf aber nicht sein, da dass
> ja mein orthogonaler Vektor ist. Der darf ja nicht einfach
> wegfallen!
> Was mach ich falsch?
Hallo,
vielleicht nichts -nachgerechnet habe ich nicht.
Wenn [mm] \mu_4=0 [/mm] für den Vektor a ist, dann bedeutet das eben, daß Dein Vektor a in U liegt.
Das wäre kein Grund zur Aufregung.
Gruß v. Angela
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nein nein. ich reg mich ja nicht auf.
aber wenn [mm] \mu=0 [/mm] ist, dann lässt [mm] \vec{a} [/mm] sich ja gar nicht so darstellen wie es gewünscht ist oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
0 liegt ja auch in [mm] U^{\perp} [/mm] alo x2=0 ist auch ne Lösung. und für a ist die richtig, mit x1=v1+v2+v3
gruss leduart
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hmm,.. alles klar. vielen dank. klingt alles irgendwie offensichtlich logisch, aber mich hat es halt eben sehr verwirrt.
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