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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Darksen |
| Aufgabe | Durch
[mm] \left\langle f|g \right\rangle [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx
[/mm]
wird ein Skalarprodukt definiert.
Bestimmen Sie [mm] $\langle [/mm] 6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x) [mm] \mid [/mm] 10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 [/mm] x) [mm] \rangle [/mm] $. |
Leider habe ich absolut nicht die geringste Ahnung, wie ich das angehen soll...
Beziehungsweise was am Ende dann herauskommen soll/wird...
Kann mir jemand nen Denkanstoß geben?
Danke im Voraus :)
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> Durch
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> [mm]\left\langle f|g \right\rangle[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx[/mm]
>
> wird ein Skalarprodukt definiert.
>
> Bestimmen Sie [mm]\langle 6 \sin(10 x)+6 \cos(4 x) \mid 10 \sin(9 x)+10 \cos(10 x) \rangle [/mm].
> Leider habe ich absolut nicht die geringste Ahnung, wie ich
> das angehen soll...
> Beziehungsweise was am Ende dann herauskommen
> soll/wird...
Hallo,
ja, wat nu? Scheitert's am Anfang oder am Ende?
Oder anders gefragt: wie weit bist Du denn gekommen?
Zum Anfang:
Du bewegst Dich also im Funktionenraum, und hier wird ein Skalarprodukt von zwei Funktionen wie oben angeben definiert.
Wenn Du Zweifel hast, ob es ein Skalarprodukt ist, so rechne die Bedingungen nach. (Vermutlich habt Ihr das in der Übung aber auch schon getan.)
Und nun hast Du zwei mit Funktionen f(x):=6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x) und g(x):=10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 [/mm] x) gegeben und den Auftrag, deren Skalarprodukt auszurechnen.
Was mußt Du also tun? Schreib's doch erstmal hin.
Anschließend muß man integrieren. Das ist dann ja ein ganz anderes Thema.
Am Ende herauskommen tut 'ne Zahl. Weil's ja ein Skalarprodukt ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Durch
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> [mm]\left\langle f|g \right\rangle[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx[/mm]
>
> wird ein Skalarprodukt definiert.
>
> Bestimmen Sie [mm]\langle 6 \sin(10 x)+6 \cos(4 x) \mid 10 \sin(9 x)+10 \cos(10 x) \rangle [/mm].
> Leider habe ich absolut nicht die geringste Ahnung, wie ich
> das angehen soll...
> Beziehungsweise was am Ende dann herauskommen
> soll/wird...
>
> Kann mir jemand nen Denkanstoß geben?
Denkanstoss: Einsetzen.
Es war [mm] $$\left\langle f|g \right\rangle =\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx\,,$$
[/mm]
die Notation
[mm] $$\langle [/mm] 6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x) [mm] \mid [/mm] 10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 [/mm] x) [mm] \rangle$$
[/mm]
bedeutet eigentlich
[mm] $$\langle [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x):=6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x) [mm] \mid [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] g(x):=10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 [/mm] x) [mm] \rangle\,.$$
[/mm]
Mit anderen Worten:
[mm] $$\langle [/mm] 6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x) [mm] \mid [/mm] 10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 [/mm] x) [mm] \rangle$$
[/mm]
ist nur eine Notationsverkürzende Schreibweise für
[mm] $$\left\langle f|g \right\rangle$$
[/mm]
mit konkreter Funktionsvorschrift $f(x):=6 [mm] \sin(10 [/mm] x)+6 [mm] \cos(4 [/mm] x)$ und $g(x):=10 [mm] \sin(9 [/mm] x)+10 [mm] \cos(10 x)\,.$
[/mm]
Anderes Beispiel:
[mm] $$\langle \blue{x^2} \mid \green{x^3}\rangle=\langle \underbrace{x^2}_{=f(x)} \mid \underbrace{x^3}_{=g(x)}\rangle =\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \underbrace{\blue{x^2}}_{=f(x)}\underbrace{\green{x^3}}_{=g(x)}\;dx=\frac{1}{\pi} *\frac{1}{6}(\pi^6-(-\pi)^6)=0\,.$$
[/mm]
Was ist also somit
[mm] $$\langle \underbrace{6 \sin(10 x)+6 \cos(4 x)}_{=f(x)} \mid \underbrace{10 \sin(9 x)+10 \cos(10 x)}_{=g(x)} \rangle\,?$$
[/mm]
P.S.:
Beachte bei Deiner Aufgabe die ![[]](/images/popup.gif) Orthogonalität der trigon. Funktionen.
Gruß,
Marcel
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